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Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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Enunciado

USP, 2018.2, P1, Q11

Seja E um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno, seja S um subespaço não trivial de E e seja T : E → E o operador linear definido por T v = - v + p r o j S v , para todo v ∈ E . Então pode-se afirmar corretamente que

a   T   é   s o b r e j e t o r

b   I m T = S

c   K e r T = S ⊥

d   T   é   i n j e t o r

e   K e r T = S

Passo 1

Falaa, blz? Então, temos uma ideia interessante para ajudar a resolver essa questão. Para isso vamos relembrar teorema do núcleo imagem para o operador da questão:

dim ⁡ V = dim ⁡ K e r T + dim ⁡ I m T

Passo 2

Agora, vamos ver que se T é sobrejetor:

dim ⁡ I m T = dim ⁡ V → dim ⁡ K e r T = 0

Mas se dim ⁡ K e r T = 0 ela seria injetora, também. Logo não pode ser a letra (a) ou a letra (d)

Além disso, a letra B e E tem a ver com dim ⁡ K e r T   e   dim ⁡ I m T , logo, basta analisarmos quem são esses subespaços K e r T   e   I m T

Passo 3

Vamos analisar o núcleo desse operador:

v ∈ K e r T ↔ T v = 0

- v + p r o j S v = 0   ∴ v = p r o j S v

Ou seja, se todo vetor v do núcleo é a sua própria projeção sobre S, quer dizer que o núcleo é o próprio S, pois se v ∈ K e r T   ,   v = p r o j S v     e   p o r t a n t o   v ∈ S . Ou seja, pegamos um vetor qualquer do núcleo e vimos que ele ta em S, logo K e r T = S

Resposta

Letra E

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