Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

Ver Teoria
Exercício 171234567891011121314151618192021222324252627282930313233343536373839

Enunciado

UFPE, Álgebra Linear I, 2 a EE -2017.2, Questão 3b

Responda:

Seja T : R 3 ⟶ R 3 linear tal que T 1,1 , 0 = 1,2 , - 1 , T 0,0 , 1 = 2,1 , 1 e T - 1,0 , 1 = 1 , - 1,2 . Determine T x , y , z . Determine uma base β I m T e diga se T   é sobrejetora.

Passo 1

Os três vetores que temos a transformação formam uma base do R 3 , então, consigo escrever todos os outros vetores do R 3 como uma combinação linear deles:

x , y , z = a 1,1 , 0 + b 0,0 , 1 + c ( - 1,0 , 1 )

Vou aplicar a transformação dos dois lados:

T x , y , z = a T 1,1 , 0 + b T 0,0 , 1 + c T ( - 1,0 , 1 )

Tenho o resultado dessas transformações do enunciado:

T x , y , z = a ( 1,2 , - 1 ) + b ( 2,1 , 1 ) + c ( 1 , - 1,2 )

Passo 2

Assim, para achar T ( x , y , z ) , basta achar os valores de a ,   b   e c com essa nossa primeira combinação:

x , y , z = a 1,1 , 0 + b 0,0 , 1 + c ( - 1,0 , 1 )

x , y , z = a - c , a , b + c

a - c = x a = y b + c = z

Substituindo a = y nas outras equações, tenho que c = y - x e b = z - y + x

Passo 3

Voltando para a equação de T ( x , y , z ) :

T x , y , z = y 1,2 , - 1 + ( z - y + x ) 2,1 , 1 + ( y - x ) 1 , - 1,2

T x , y , z = y + 2 z - 2 y + 2 x + y - x , 2 y + z - y + x - y + x , - y + z - y + x + 2 y - 2 x

T x , y , z = 2 z + x , z + 2 x , - x + z

Prontoo, achamos a expressão para a nossa transformação!

Passo 4

Bom, agora o enunciado pediu pra gente uma base para a imagem da transformação!

Como a imagem vai ter a cara daquela expressão que achamos, uma base dela pode ser achada fazendo:

2 z + x , z + 2 x , - x + z = z 2,1 , 1 + x ( 1,2 , - 1 )

β I m T = { 1,2 , - 1 , 2,1 , 1 }

Agora, T   é sobrejetora?

Não, porque para ser sobrejetora, a imagem deve ser igual ao contra domínio ( R 3 ) , mas, como a imagem tem dimensão 2, isso é impossível.

Resposta

T x , y , z = 2 z + x , z + 2 x , - x + z

β I m T = { 1,2 , - 1 , 2,1 , 1 }

Não é sobrejetora.

Exercícios de Livros Relacionados

Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3
Seja a aplicação T :R 2 → R 3 x , y → ( x + k y ,x + k ,y ) Verificar em que caso(s) T é linear:a) k = x b) k = 1 c) k = 0
Consideremos a transformação linear T : R 2 → R 2 definida por T x , y = ( 3 x - 2 y ,x + 4 y ) . Utilizar os vetores u = ( 1 ,2 ) e v = ( 3 , - 1 ) para mostra que T 3 u + 4 v = 3 T u + 4 T ( v ) .