Seja e definida por . Mostre que é injetiva.
Passo 1
Para que seja injetiva, ela tem que satisfazer a igualdade abaixo:
Vamos começar descobrindo o que faz. Bom, ela leva vetores de em suas derivadas.
Passo 2
O conjunto é um conjunto de vetores da forma que satisfaçam a condição . Ou seja,
Logo, é formado por polinômios do tipo . E o vetor nulo de é .
Passo 3
Então, temos:
Para encontrarmos o núcleo de basta igualarmos ela ao vetor nulo do domínio :
Se achar mais fácil de entender, pode escrever em função da base :
Daí,
A única solução para o sistema é:
Logo,
Portanto, é injetiva.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3
Seja a aplicação T :R 2 → R 3 x , y → ( x + k y ,x + k ,y ) Verificar em que caso(s) T é linear:a) k = x b) k = 1 c) k = 0
Consideremos a transformação linear T : R 2 → R 2 definida por T x , y = ( 3 x - 2 y ,x + 4 y ) . Utilizar os vetores u = ( 1 ,2 ) e v = ( 3 , - 1 ) para mostra que T 3 u + 4 v = 3 T u + 4 T ( v ) .