Seja e definida por . Mostre que é injetiva.
Passo 1
Para que seja injetiva, ela tem que satisfazer a igualdade abaixo:
Vamos começar descobrindo o que faz. Bom, ela leva vetores de em suas derivadas.
Passo 2
O conjunto é um conjunto de vetores da forma que satisfaçam a condição . Ou seja,
Logo, é formado por polinômios do tipo . E o vetor nulo de é .
Passo 3
Então, temos:
Para encontrarmos o núcleo de basta igualarmos ela ao vetor nulo do domínio :
Se achar mais fácil de entender, pode escrever em função da base :
Daí,
A única solução para o sistema é:
Logo,
Portanto, é injetiva.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)