Seja W = p ∈ P 3 p 0 = 0 e D : W → P 3 definida por D p = p ' . Mostre que D é injetiva.

Passo 1

Para que D seja injetiva, ela tem que satisfazer a igualdade abaixo:

N u c D = 0

Vamos começar descobrindo o que D faz. Bom, ela leva vetores de W em suas derivadas.

Passo 2

O conjunto W é um conjunto de vetores da forma p = a x 3 + b x 2 + c x + d que satisfaçam a condição p 0 = 0 . Ou seja,

a 0 + b 0 + c 0 + d = 0

d = 0

Logo, W é formado por polinômios do tipo a x 3 + b x 2 + c x + 0 . E o vetor nulo de W é 0 x 3 + 0 x 2 + 0 x + 0 .

Passo 3

Então, temos:

D a x 3 + b x 2 + c x + 0 = 3 a x 2 + 2 b x + c

Para encontrarmos o núcleo de D basta igualarmos ela ao vetor nulo do domínio W :

3 a x 2 + 2 b x + c = 0 x 3 + 0 x 2 + 0 x + 0

Se achar mais fácil de entender, pode escrever p em função da base x 3 , x 2 , x , 0 :

D a , b , c , 0 = 0,3 a , 2 b , c

0,3 a , 2 b , c = 0,0 , 0,0

Daí,

0 = 0 3 a = 0 2 b = 0 c = 0

A única solução para o sistema é:

a = b = c = 0

Logo,

N u c D = { 0 }

Portanto, D é injetiva.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

Ver Teoria

Exercícios de Livros Relacionados