USP, Álgebra Linear 2, P1-2017, Questão 02
02) Seja a transformação linear definida por:
para quaisquer . Assinale a alternativa a correta:
a) é injetora;
b)
c) é sobrejetora;
d)
e) .
Passo 1
Faaaaala pessoal, como vocês estão? Todo mundo animado pra matar mais uma questão de álgebra linear? Simbora!!
Aqui temos uma transformação linear com domínio em , ou seja, polinômios no máximo de grau , e contradomínio nas matrizes de coeficientes reais. Tal que:
Beleza! São feitas algumas afirmações nas alternativas sobre ser injetora, sobrejetora e também sobre as dimensões do seu espaço nulo e da sua imagem. Bora então descobrir cada uma dessas informações pra termos certeza na hora de marcar a alternativa, tranquilo?
Passo 2
Vamos começar descobrindo , isto é, a dimensão do espaço nulo. Com essa informação já conseguimos eliminar a alternativa B.
Eaí, lembra qual a definição do espaço nulo, ?
Hahaha, calma, o nome já diz tudo. O espaço nulo é o subespaço do domínio que, quando aplicados na transformação linear, geram apenas o elemento nulo do contradomínio. Sacou?
Pra descobrir quem são esses elementos, basta usar a própria definição.
Vamos supor inicialmente que um vetor genérico de seja dado por:
onde . Daí, se , é válido que:
Mas, pela definição dessa transformação linear , sabemos que:
Logo:
Com isso, temos equações:
De , temos:
De , temos:
De , temos:
Logo, podemos reescrever como sendo:
Ou sejaaaa, quem que é o nosso espaço nulo, ?
É justamente os múltiplos do elemento , que é a base de . Assim:
Top! Logo, como esse subespaço é gerado por apenas um vetor, podemos afirmar que:
Bouaaaa! Já sabemos então que a letra B está errada 😊
Passo 3
Pô, já descobrimos que , será que dá pra afirmar algo sobre a injetividade de ?
Tem um teorema bem especial que é a chave, na maioria das questões, pra gente descobrir se uma transformação é injetora ou não. E ele é bem bem simples!
Basicamente, uma transformação linear é injetora se, e somente se, .
Sacou?
Logooo, como encontramos:
Concluímos que não é injetora!
Logo, a letra A também está incorreta.
Massa 😊
Passo 4
E quanto à sobrejetividade, como podemos avaliar se é sobrejetora??
Tem outro teorema massa que ajuda nos ajuda. Segundo ele, uma transformação linear é sobrejetora se, e somente se,
Show! Nosso objetivo então vai ser calcular a dimensão da imagem e do contradomínio pra verificar se são iguais.
Assim, começando pelo contradomínio, sabemos que ele é o espaço vetorial das matrizes . Sempre que precisamos descobrir a dimensão de um espaço vetorial formado por matrizes, basta multiplicar o número de linhas e o de colunas. Logo:
Top!
Pra calcular a dimensão da imagem podemos usar o nosso querido, e importantíssimo, Teorema Fundamental da Álgebra (tem que estar no sangue hein galera), que fala:
Tranquilo?
Pô, mas por que que isso nos ajudou? Já que agora ao invés de calcular precisamos calcular
É que o domínio é o espaço vetorial de , e a dimensão do espaço vetorial de um polinômio é simplesmente o valor do seu grau acrescido de uma unidade. Ou sejaa:
Bouaa! Portanto, usando o T.F.A (teorema fundamental da álgebra), temos:
Excelente! Logo, como , chegamos à conclusão que não é sobrejetora!
Analisando as alternativas vemos que a letra está correta, pois:
Ufaaaa! Prontinho galera, espero que vocês tenham curtido a solução.
Até a próxima 😉
Resposta
Letra E: .