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Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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Enunciado

Teorema do Núcleo e da Imagem, Espaços Vetoriais

Seja P 3 o espaço dos polinômios

p = { a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 ,   a 0 , a 1 ,   a 2 , a 3 ∈ R }

Qual função abaixo NÃO é uma função injetiva de P 3 em P 3 ?

( a ) F p = p + x

( b ) F p = p + x 2

( c ) F p = d p d x

( d ) F p = 2 p

Passo 1

É incrível, só aparecer uma derivada e falar em injetividade e o povo já se assusta.

A questão nem é tão complicada!

É só lembrar que toda função linear em que o domínio e o contradomínio têm a mesma dimensão é injetiva se for sobrejetiva (e vice versa).

E o que uma função precisa para ser sobrejetiva? Precisa que a imagem tenha a mesma dimensão do contra domínio (que é 4 )! Em outras palavras, nossa T L tem que ser capaz de gerar o P 3 todo! Então é só vermos qual não é capaz de fazer isso!

Passo 2

Letra a

F p = p + x

F a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 = a 0 + a 1 + 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3

Repare que continuamos tendo 4 variáveis livres, então essa é sobrejetiva e, portanto, injetiva.

Letra b

F p = p + x 2

F a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 = a 0 + a 1 x + a 2 + 1 x 2 + a 3 x 3

Novamente continuamos com 4 variáveis livres, então essa também é injetiva.

Letra c

F p = d p d x

F a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 = ( 0 + a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x 2 )

Opa! Repara que aqui só temos 3 variáveis livres! Isso quer dizer que a imagem dessa T L tem dimensão 3 e não 4 ! Logo ela não é sobrejetiva e não é injetiva.

Resposta

Letra ( c )

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