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Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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Enunciado

USP, 2018.2, P1, Q4

Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão finita e seja T : U → V uma transformação linear. Assinale a alternativa que contém uma implicação que é necessariamente verdadeira.

a   S e   T   é   i n j e t o r a ,   e n t ã o dim ⁡ U = dim ⁡ V  

b   S e   d i m V - dim ⁡ I m T = dim ⁡ U ,   e n t ã o   T   é   i n j e t o r a

c   S e   u 1 , … , u n   é   u m a   b a s e   d e   U ,   e n t ã o   T u 1 , … , T u n   é   u m a   b a s e   d e   I m ( T )

d   S e dim ⁡ I m ( T ) = dim ⁡ K e r ( T ) ,   e n t ã o   T   é   s o b r e j e t o r a .

e   S e dim ⁡ V ≤ dim ⁡ U - dim ⁡ K e r T ,   e n t ã o   T   é   s o b r e j e t o r a .  

Passo 1

Falaaaa, blz?? Bom, essa é o tipo de questão típica de teorema do núcleo imagem, então vamos lembrar o que o teorema nos diz:

seja T : U → V :

dim ⁡ U = dim ⁡ K e r ( T ) + dim ⁡ I m ( T )

Agora vamos analisar as alternativas:

a   S e   T   é   i n j e t o r a ,   e n t ã o dim ⁡ U = dim ⁡ V  

Para que T seja injetora, temos que dim ⁡ K e r T = 0

Ou seja:

dim ⁡ U = dim ⁡ I m T

Veja que para Letra (a) ser verdadeira, teríamos que dim ⁡ I m ( T ) = dim ⁡ V , mas isso não necessariamente é verdade.

b   S e   d i m V - dim ⁡ I m T = dim ⁡ U ,   e n t ã o   T   é   i n j e t o r a

Vamos substituir essa equação no teorema:

dim ⁡ U = dim ⁡ K e r ( T ) + dim ⁡ I m ( T )

d i m V - dim ⁡ I m T = dim ⁡ K e r ( T ) + dim ⁡ I m ( T )

dim ⁡ K e r T = dim ⁡ V - 2 dim ⁡ I m ( T )

Veja que para T ser injetora, teríamos que dim ⁡ V = 2 dim ⁡ I m ( T ) , o que não necessariamente é verdade

Passo 2

c   S e   u 1 , … , u n   é   u m a   b a s e   d e   U ,   e n t ã o   T u 1 , … , T u n   é   u m a   b a s e   d e   I m ( T )

Isso aqui tá nos dizendo que dim ⁡ U = n   e dim ⁡ I m T = n

Logo:

dim ⁡ U = dim ⁡ K e r ( T ) + dim ⁡ I m ( T )

n = dim ⁡ K e r T + n

dim ⁡ K e r T = 0

Ou seja, isso só ocorre quando a transformação é injetora, porém bastaria pegarmos uma transformação não injetora e teríamos problema.

Passo 3

d   S e dim ⁡ I m ( T ) = dim ⁡ K e r ( T ) ,   e n t ã o   T   é   s o b r e j e t o r a .

dim ⁡ U = dim ⁡ K e r ( T ) + dim ⁡ I m ( T )

dim ⁡ U = 2 dim ⁡ K e r ( T )

Essa aqui é bem direta que não necessariamente é verdade, basta pensar numa transformação injetora, teríamos que dim ⁡ U = 0 , o que não necessariamente é verdade

e   S e dim ⁡ V ≤ dim ⁡ U - dim ⁡ K e r T ,   e n t ã o   T   é   s o b r e j e t o r a .  

Ou ainda dim ⁡ U ≥ dim ⁡ V + dim ⁡ K e r ( T )

Mas, dim ⁡ U = dim ⁡ K e r ( T ) + dim ⁡ I m ( T )

dim ⁡ K e r ( T ) + dim ⁡ I m ( T ) ≥ dim ⁡ V + dim ⁡ K e r ( T )

dim ⁡ I m ( T ) ≥ dim ⁡ V

Sabemos que I m ( T ) é subespaço de V, logo, dim ⁡ I m T ≤ dim ⁡ V

Ou seja, se   dim ⁡ V ≤ dim ⁡ U - dim ⁡ K e r T   achamos dim ⁡ I m ( T ) ≥ dim ⁡ V   , porém dim ⁡ I m T ≤ dim ⁡ V , logo, concluímos que:

dim ⁡ I m T = dim ⁡ V

Daqui tiramos que T é sobrejetora

Resposta

Letra (e)

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