UFRJ; Provas Antigas; Álgebra Linear; P2 2022.1; Questão 14
Qual das transformações abaixo representa uma transformação linear SOBREJETIVA?
Passo 1
Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin!!!
Lembram o que é uma transformação sobrejetiva? Vamos revisar
Bem, uma transformação , é sobrejetiva, se a dimensão da imagem é igual a dimensão do contradomínio, isto é, . Então, para nossa transformação ser sobrejetiva, precisamos checar se as dimensões das imagens em cada matriz são iguais à dimensão do contra domínio.
Passo 2
Bem, já discutimos que para uma ser sobrejetiva precisamos que
para verificarmos as dimensões do domínio e do contradomínio. Podemos usar os valores das linhas e das colunas da matriz de transformação linear. Suponha que a nossa matriz seja , então a dimensão do domínio é e do contradomínio é .
Com isso em mente, vamos verificar a matriz da letra a). A matriz é:
A matriz é , então a dimensão do contradomínio é , mas como verificamos qual é a sua imagem? Ora, vemos o que a matriz faz com os vetores da base canônica.
Como a matriz da letra a é:
então:
Então a imagem da transformação é . Mas ao analisarmos esses vetores, vemos que eles são LD. Logo a dimensão da imagem de é 1. Então essa transformação não é sobrejetiva.
Passo 3
Agora, vamos checar a matriz da letra c). A matriz é:
Bem, como ela tem linhas, a dimensão do contradomínio é . Vamos verificar o que essa matriz faz com os vetores da base canônica.
Então a imagem de , é dada por . Olhando com calma esse conjunto. Podemos ver que ele tem vetores LI, então gera um espaço de dimensão . Então concluímos que essa transformação é sobrejetiva.
Prontinho, pessoal!! Finalizamos mais uma!!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊