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Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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Enunciado

USP, 2018.2, P1, Q1

A respeito das afirmações

I   E x i s t e   u m   o p e r a d o r   l i n e a r   T :   P 4 R → P 4 R   t a l   q u e   K e r T = I m ( T ) .

I I   A   f u n ç ã o   T : P 5 R → P 5 R   d e f i n i d a   p o r   T p t = p t + 1 ,   p a r a   t o d o   p t ∈ P 5 R ,   é   u m a   t r a n s f o r m a ç ã o   l i n e a r .

I I I   S e   E   e   F   s ã o   e s p a ç o s   v e t o r i a i s   d e   d i m e n s ã o   f i n i t a   e   T : E → F   é   u m a  

t r a n s f o r m a ç ã o   l i n e a r , e n t ã o   T   é   i n j e t o r a   s e ,   e   s o m e n t e , s e   d i m E ≤ d i m F

Passo 1

Falaaa, tranquilo?? Vamos começar essa questão pela primeira afirmação:

Vale lembrar o teorema do núcleo imagem para nos ajudar:

O teorema nos diz que se tivermos T : V   → V ,   e n t ã o dim ⁡ V = dim ⁡ K e r T + d i m ⁡ ( I m T )

Agora vamos aplicar isso para o espaço V = P 4 ( R )

Sabemos que dim ⁡ P 4 R = 5 , substituindo no teorema:

5 = dim ⁡ K e r P 4 ( R ) + d i m ⁡ ( I m P 4 ( R ) )  

Se K e r T = I m T   → dim ⁡ K e r P 4 ( R ) = dim ⁡ I m P 4 ( R )  

Teríamos que 2 dim ⁡ K e r P 4 R = 5   ∴ dim ⁡ K e r T = 5 2 , o que seria um absurdo.

Logo a primeira afirmação é falsa.

Passo 2

Vamos para a próxima afirmação.

Para essa temos que lembrar as 2 condições para uma função ser uma transformação.

Se tivermos T : V   → W , tomando a , b   ∈ V , T é transformação linear se:

T a + b = T a + T ( b )

T λ a = λ T ( a )

Mas podemos juntar ambas propriedades em uma:

T a + λ b = T a + λ T ( b )

Agora basta testarmos isso na função da questão.

Vamos tomar p x   ,   q x ∈ P 5 ( R )

T p x + λ q x = p x + λ q x t + 1 = p x t + 1 + λ q x t + 1

= T p x + λ T q x

Logo é transformação.

Passo 3

Agora para a terceira afirmação temos que tomar cuidado, pois a ida vale, porém, a volta não.

A ida é bem intuitiva (pode ser vista olhando para o teorema núcleo imagem), mas a volta não é válida, basta tomarmos uma transformação do tipo T :   P 4 R → P 5 R   c o m   T p x = 0 , veja que é linear com dim ⁡ P 5 R ≤ P 4 R e claramente não injetiva

Resposta

Letra E

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