USP, Álgebra Linear 2, P1-2017, Questão 10
10) Sejam e a transformação linear tal que:
Temos que será injetora se, e somente se:
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) .
Passo 1
Faala galerinha, tudo tranquilo por aí?
Nessa questão, pra surpresa de um total de pessoas hahaha, temos novamente uma transformação linear , agora com domínio em e contradomínio em . Não é dada a definição da transformação, mas é dito que:
A pergunta é sobre a condição entre e para que seja injetora.
Puts, esse caso é complicado porque não temos a definição da transformação linear e sem essa definição fica mais difícil descobrir se é injetora ou não.
Mas, com as informações dadas, será que tem algum jeito de a descobrirmos?
Poderíamos pensar em montar a matriz , assim conseguiríamos definir a transformação. Mas, para isso precisamos ter uma base:
Que a gente conheça os valores de ), . Tendo isso, a matriz que representa a transformação será dada por:
Massa!
Passo 2
Continuando o raciocínio, só conhecemos os valores da transformação linear para vetores. Se eles formarem uma base do , podemos montar a matriz . Vamos verificar isso!
Temos:
Pra que esses vetores formem uma base, eles precisam ser e também gerar todo o .
De fato, eles geram todo o (pois conseguem gerar cada vetor da base canônica, por exemplo). Pra verificar se eles são basta fazer:
Se tivermos a única solução , então eles são . Montando o sistema, vamos ter que:
Começando da última equação, temos . Substituindo na penúltima temos . E, por último, substituindo na primeira, temos também . Portanto, esses vetores de fato formam uma base.
Logo, como:
E, além disso:
Podemos escrever:
Boaaa, é isso aí pessoal! Agora já conseguimos definir através de .
Passo 3
Beleza! Lembra que queremos calcular as condições de e para ser injetora, certo? Mas, quando que uma é dita injetora?
Essa todo mundo já tá ligado né haha, basta que:
Ok! Bora supor um vetor genérico do :
Logo:
Se , então:
Daí:
Temos o seguinte sistema:
De vem:
Substituindo em , temos:
Logo,
Massa! Substituindo ambos os resultados em , temos:
Aí temos duas opções:
O que implica em:
Ou
Como queremos que seja injetora, devemos ter:
Logo, a gente realmente precisa que seja igual a zero.
Assim, a solução é:
Portanto:
Essa é a condição para que seja injetora.
Prontinho!!! Muito bom galera, bem interessante essa questão né?
Valeeeu, até a próximaaa 😊
Resposta
Letra C.