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Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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Enunciado

Álgebra Linear – UFPE – 2° EE

Seja T : M 2,2 → R 4 dada por

T a b c d = a + b , 2 c , b + c - d , a - b + 2 d

  1. Determine uma base para ker ⁡ T
  2. Determine uma base para I m T
  3. T é injetora? Justifique
  4. T é sobrejetora? Justifique

Passo 1

Antes de começarmos definindo a base para ker ⁡ T , precisamos definir o que é esse ker ⁡ T .

Também chamado do núcleo de T, ele consiste no conjunto de vetores tais que T v = 0 . Portanto, é um subespaço do conjunto M 2,2 tal que a imagem dos vetores é igual a 0.

Portanto, temos que encontrar o conjunto dos vetores a b c d que satisfazem a seguinte relação:

T a b c d = a + b , 2 c , b + c - d , a - b + 2 d = 0,0 , 0,0

Igualando a imagem a zero, vamos obter o seguinte sistema:

a + b = 0 2 c = 0 b + c - d = 0 a - b + 2 d = 0

Agora, precisamos resolver o sistema acima para obter as relações entre as variáveis a , b , c e d . Da primeira e segunda equação, obtemos a = - b e c = 0 . Substituindo essas duas relações na terceira e quarta equação, temos:

b - d = 0 - 2 b + 2 d = 0

Ambas as equações nos retornam que b = d . Portanto, o vetor a b c d pode ser reescrito da seguinte forma:

a b c d = - b b 0 b = b ⋅ - 1 1 0 1

Portanto, apenas os vetores - b b 0 b pertencem ao núcleo de T. Consequentemente, a base β do núcleo é dada obtida ao colocarmos o b em evidência. Logo,

β = - 1 1 0 1

Passo 2

Agora, vamos calcular a base para a imagem da transformação.

A ideia é associar a imagem a um vetor qualquer x , y , z , t ∈ R 4 a imagem da transformação T. Consequentemente, associamos este vetor as variáveis a , b , c e d da imagem da transformação.

A ideia é tentar descobrir se existe alguma relação entre as coordenadas x , y , z , t do vetor qualquer. Pois são estas relações que utilizaremos para montar a base da imagem.

Sendo assim, vamos começar comparando o resultado da transformação com o vetor qualquer. Logo,

a + b , 2 c , b + c - d , a - b + 2 d = x , y , z , t

Igualando as coordenadas do vetor, vamos obter o seguinte sistema:

a + b = x 2 c = y b + c - d = z a - b + 2 d = t

Da primeira equação obtemos que b = x - a e c = y / 2 . Substituindo estas relações na terceira e quarta equação, obtemos:

b = x - a c = y / 2 ( x - a ) + y / 2 - d = z a - ( x - a ) + 2 d = t ⟹ b = x - a c = y / 2 a + d = x + y 2 - z 2 a + 2 d = t - x

Subtraindo a quarta equação de 2 vezes a terceira, vamos obter:

0 = t - x - 2 x + y 2 - z

0 = t - x - 2 x + y - 2 z

0 = t - x - y + 2 z

t = x + y - 2 z

Portanto, a imagem da nossa transformação é o conjunto de vetores x , y , z , t que satisfazem a seguinte relação: t = x + y - 2 z . Portanto, é o conjunto dos vetores x , y , z , x + y - 2 z .

Agora, vamos separar estes vetores em soma de vetores. A dica é separar os vetores que possuem apenas a letra x , y e z . Portanto,

x , y , z , x + y - 2 z = x , 0,0 , x + 0 , y , 0 , y + 0,0 , z , - 2 z

Colocando as letras em evidência, temos:

x , y , z , x + y - 2 z = x ⋅ 1 , 0,0 , 1 + y ⋅ 0 , 1 , 0 , 1 + z ⋅ 0,0 , 1 , - 2

Pronto, basta pegarmos estes três vetores para compor a base. Ao fazermos isto garantimos que estamos com três vetores LI. Portanto, a base para a imagem é:

E = 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1 , - 2

Passo 3

Para sabemos se a transformação é injetora, basta checarmos a dimensão do núcleo.

Como o núcleo possui 1 vetor, a sua dimensão é 1. Automaticamente, sabemos que a transformação não é injetora, pois, para que esta relação fosse satisfeita, a dimensão do núcleo deveria ser 0!

Passo 4

Para sabemos se a transformação é sobrejetora, basta checarmos a dimensão da imagem.

Como a imagem possui 3 vetores, a sua dimensão é 3. Agora, temos que comparar com a dimensão espaço pertencente do vetor resultante desta transformação.

Como o vetor resultante pertence ao R 4 , cuja dimensão é 4 (maior que a dimensão da imagem), sabemos que a transformação não é sobrejetora. Para que isto ocorresse, a dimensão da imagem também deveria ser 4.

Resposta

  1. A base para ker ⁡ T é:

    2. β = - 1 1 0 1

  2. A base para I m T é:

    3. E = 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1 , - 2

  3. A transformação não é injetora pois dim ⁡ ker ⁡ T ≠ 0
  4. A transformação não é sobrejetora pois dim ⁡ Im ⁡ T ≠ dim ⁡ R 4 = 4

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