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Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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Enunciado

Seja T : R n ⟶ R m transformação linear injetivas.

Prove que se v 1 , v 2 , … , v s ∈ R n são vetores linearmente independentes, então os vetores T v 1 , T v 2 , … , T v s ∈ R m são também linearmente independentes.

Passo 1

Primeiro passo a se fazer é separar em hipótese e tese:

Hipótese: v 1 , v 2 , … , v s ∈ R n são vetores linearmente independentes

Tese: T v 1 , T v 2 , … , T v s ∈ R m são também linearmente independentes.

Nosso objetivo é provar que T v 1 , T v 2 , … , T v s ∈ R m são linearmente independentes (ou seja, nenhum deles é combinação linear do outro) usando que v 1 , v 2 , … , v s ∈ R n são vetores L I .

Queremos provar que a tese é verdadeira ( T v 1 , T v 2 , … , T v s ∈ R m são linearmente independentes), para isso precisamos que:

a 1 T v 1 + a 2 T v 2 + … + a s T v s = 0

Para esses vetores não serem uma combinação linear a única solução para essa equação seria a trivial logo, queremos achar que a 1 = a 2 = … = a s = 0 , para provar que T v 1 , T v 2 , … , T v s são L I .

Passo 2

Continuando, vamos passar os coeficientes “para dentro” da transformação, já que ela é linear:

T a 1 v 1 + T a 2 v 2 + … + T a s v s = 0

E agora vamos juntar as somas, também porque nossa transformação é linear:

T a 1 v 1 + a 2 v 2 + … + a s v s = 0

No enunciado sabemos que a nossa T é injetiva, então:

T a 1 v 1 + a 2 v 2 + … + a s v s = 0     ⇔     a 1 v 1 + a 2 v 2 + … + a s v s = 0

Mas por hipótese sabemos que { v 1 , v 2 , … , v s } é L I . Logo, se

a 1 v 1 + a 2 v 2 + … + a s v s = 0

A única solução possível seria a trivial, ou seja:

a 1 = a 2 = … = a s = 0

E assim provamos que { T v 1 , T v 2 , … , T v s } é L I .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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