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Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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Enunciado

USP, 2018.2, P1, Q14

Sejam a , b   ∈ R e seja T : R 3 → R 3 o operador linear que satisfaz T 1,0 , 0 = ( 1 , - 3,1 ) , T 1,1 , 0 = 2 , - 5 , a   e   T 1,1 , 1 = ( - 1,2 , b ) . Então, T é injetor se, e somente se, a + b for

a   d i f e r e n t e   d e   2

b   i g u a l   a   2

c   i g u a l   a   1

d   d i f e r e n t e   d e   0

e   d i f e r e n t e   d e   1

Passo 1

Falaaa, blz??? Bom, para começar essa questão vamos lembrar que T   é   i n j e t o r   s e   K e r T = 0 ,   o u   s e j a , dim ⁡ K e r T = 0

Para continuar vamos relembrar teorema do núcleo imagem para o operador da questão:

dim ⁡ R 3 = dim ⁡ K e r T + dim ⁡ I m T

Passo 2

Nessa questão vamos tomar T sendo injetor e achar o valor de a + b

3 = 0 + dim ⁡ I m T

Ou seja, temos que achar 3 vetores Linearmente Independentes (L.I) para montar nossa base da Imagem de T.

Lembrando que 3 vetores u , v , w são L.I se:

a u + b v + c w = 0   ∴ a = b = c = 0

Bom, não temos muito para onde correr, vamos tomar I m T = [ T 1,0 , 0 , T 1,1 , 0 , T 1,1 , 1 ]

I m T = [ ( 1 , - 3,1 ) , 2 , - 5 , a , ( - 1,2 , b ) ]

Ou seja, queremos que esses 3 vetores sejam L.I.

Passo 3

α 1 , - 3,1 + β 2 , - 5 , a + γ - 1,2 , b = 0

α + 2 β - γ = 0             - 3 α - 5 β + 2 γ = 0 α + a β + b γ = 0        

Da primeira equação:

γ = α + 2 β

Colocando na última:

α + a β + b α + 2 β = 0

α + a β + b α + 2 b β = 0

α 1 + b + β a + 2 b = 0

Veja que se ocorrer 1 + b = a + 2 b = 0 temos que não será L.I, ou seja, vamos calcular esse caso e o que queremos é o contrario dele.

1 + b = 0 a + 2 b = 0

a + b = 1

Ou seja, basta que a + b   ≠ 1 que dará certo.

Resposta

Letra E

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