Dada a transformação abaixo:
Ache uma base para a imagem de e a sua dimensão;
Verifique se é bijetiva.
Passo 1
Para calcular geradores para a imagem de , basta “abrir” a transformação:
Assim, como os geradores são , uma possível base para a imagem de é:
Logo:
Passo 2
Para saber se é bijetiva, ela deve ser injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo. Olhando para a fórmula da nossa transformação podemos ver:
Como o contra-dominio é o , sua dimensão é 3. A gente sabe também que e, portanto, a dimensão da imagem é diferente da dimensão do contra-domínio.
Logo, a transformação não é sobrejetiva. Como não é sobrejetiva, ela não pode ser bijetiva.
Resposta
e .
Não.
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Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3
Seja a aplicação T :R 2 → R 3 x , y → ( x + k y ,x + k ,y ) Verificar em que caso(s) T é linear:a) k = x b) k = 1 c) k = 0
Consideremos a transformação linear T : R 2 → R 2 definida por T x , y = ( 3 x - 2 y ,x + 4 y ) . Utilizar os vetores u = ( 1 ,2 ) e v = ( 3 , - 1 ) para mostra que T 3 u + 4 v = 3 T u + 4 T ( v ) .