Transformações Lineares e Teorema Núcleo-Imagem
Sejam e duas transformações lineares injetivas.
Prove que se são vetores linearmente independentes, então os vetores são também linearmente independentes.
Passo 1
Primeiro passo a se fazer é separar em hipótese e tese:
Hipótese: são vetores linearmente independentes.
Tese: são também linearmente independentes.
Equacionando a tese:
Então, queremos achar que , para provar que : são .
Passo 2
-
Continuando, vamos passar os coeficientes “para dentro” da transformação, já que ela é linear:
E agora vamos juntar as somas, também porque nossa transformação é linear:
Mas como nossa é injetiva, sabemos que:
Mas por hipótese sabemos que é . Logo, se
Então:
E assim provamos que é .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
Exercícios de Livros Relacionados
Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3
Seja a aplicação T :R 2 → R 3 x , y → ( x + k y ,x + k ,y ) Verificar em que caso(s) T é linear:a) k = x b) k = 1 c) k = 0
Consideremos a transformação linear T : R 2 → R 2 definida por T x , y = ( 3 x - 2 y ,x + 4 y ) . Utilizar os vetores u = ( 1 ,2 ) e v = ( 3 , - 1 ) para mostra que T 3 u + 4 v = 3 T u + 4 T ( v ) .