Sejam e duas transformações lineares injetivas.
Prove que se são vetores linearmente independentes, então os vetores são também linearmente independentes.
Passo 1
Primeiro passo a se fazer é separar em hipótese e tese:
Hipótese: são vetores linearmente independentes.
Tese: são também linearmente independentes.
Equacionando a tese:
Então, queremos achar que , para provar que : são .
Passo 2
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Continuando, vamos passar os coeficientes “para dentro” da transformação, já que ela é linear:
E agora vamos juntar as somas, também porque nossa transformação é linear:
Mas como nossa é injetiva, sabemos que:
Mas por hipótese sabemos que é . Logo, se
Então:
E assim provamos que é .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)