A transformação associada à matriz A = 1 2 4 5 7 8

a)   é bijetiva

b)   não é nem sobrejetiva, nem injetiva

c) é sobrejetiva

d)   é injetiva

Passo 1

Bom, para verificar se a transformação é injetiva e/ou sobrejetiva, basta descobrirmos se sua matriz associada é!

A imagem é o espaço formado pelas colunas, podemos ver olhando rapidinho que os vetores das colunas não são C L   um do outro, logo, ela tem dimensão 2.

Mas sabemos que contradomínio é o R 3 , de dimensão 3, diferente da imagem! E para ser sobrejetiva era necessário que a imagem fosse igual ao contradomínio, assim, provamos que a transformação não é sobrejetiva!

Passo 2

Agora, e a injetividade? A matriz é injetiva quando a dimensão do seu núcleo é zero.

Como temos a dimensão da imagem e do domínio, podemos simplesmente utilizar oTNI para achar a dimensão do núcleo:

dim ⁡ ( N u c A ) + dim ⁡ I m A = 2

dim ⁡ ( N u c A ) = 2 - 2 = 0

Opa, se a dimensão do núcleo é igual a zero, nossa matriz, e portanto nossa transformação, é injetiva!

Resposta

d

Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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