Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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Enunciado

UFRJ, Álgebra Linear, P2 -2017.1, Questão 07

A transformação associada à matriz

a)é bijetiva

b)não é nem sobrejetiva, nem injetiva

c) é sobrejetiva

d)é injetiva

Passo 1

Bom, para verificar se a transformação é injetiva e/ou sobrejetiva, basta descobrirmos se sua matriz associada é!

A imagem é o espaço formado pelas colunas, podemos ver olhando rapidinho que os vetores das colunas não são um do outro, logo, ela tem dimensão 2.

Mas sabemos que contradomínio é o , de dimensão 3, diferente da imagem! E para ser sobrejetiva era necessário que a imagem fosse igual ao contradomínio, assim, provamos que a transformação não é sobrejetiva!

Passo 2

Agora, e a injetividade? A matriz é injetiva quando a dimensão do seu núcleo é zero.

Como temos a dimensão da imagem e do domínio, podemos simplesmente utilizar oTNI para achar a dimensão do núcleo:

Opa, se a dimensão do núcleo é igual a zero, nossa matriz, e portanto nossa transformação, é injetiva!

Resposta

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Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.

Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.

Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3

Seja a aplicação T :R 2 → R 3 x , y → ( x + k y ,x + k ,y ) Verificar em que caso(s) T é linear:a) k = x b) k = 1 c) k = 0

Consideremos a transformação linear T : R 2 → R 2 definida por T x , y = ( 3 x - 2 y ,x + 4 y ) . Utilizar os vetores u = ( 1 ,2 ) e v = ( 3 , - 1 ) para mostra que T 3 u + 4 v = 3 T u + 4 T ( v ) .