Seja uma transformação linear dada por:
(b) Determine uma base para a imagem de T. T é sobrejetora?
Passo 1
Vamos pegar um vetor genérico que pertence à imagem.
Então:
Montando a matriz aumentada desse sistema e escalonando:
Para que esse sistema tenha solução, o lado direito da última linha também tem que ser 0:
Os vetores da imagem são então:
Como os vetores e são LI e os vetores da imagem são combinações lineares deles, então eles formam uma base para a imagem:
Passo 2
Para a transformação linear ser sobrejetiva:
Mas a dimensão da imagem é 2 (só temos 2 vetores na base), então ela não é sobrejetiva.
Resposta
(b) Base:
Não é sobrejetiva.