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Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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Enunciado

USP, Álgebra Linear 2, P1-2017, Questão 06

06) Sejam n um inteiro positivo, V um espaço vetorial de dimensão n e T : V → V uma transformação linear. Considere as seguintes afirmações:

  1. T será injetora se, e somente se, T for sobrejetora;
  2. T será injetora se, e somente se, T ∘ T for injetora;
  3. Se B for uma base do espaço vetorial V , então a dimensão de K e r T coincidirá com a dimensão do subespaço vetorial de R n gerado pelas linhas da matriz T B .

Assinale a alternativa correta:

a) apenas a afirmação (III) é necessariamente verdadeira;

b) apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras;

c) apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras;

d) apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira;

e) apenas a afirmação (II) é necessariamente verdadeira.

Passo 1

Faaala galera, tudo certinho?

Nessa questão são feitas três afirmações sobre uma transformação linear T , com domínio e contradomínio em V (logo dim ⁡ d o m í n i o = dim ⁡ c o n t r a d o m í n i o = d i m ⁡ ( V ) ). Vamos analisar cada uma delas separadamente, beleza?

I. Pra começar, o enunciado afirma que T será injetora se, e somente se, T for sobrejetora.

Como podemos avaliar injetividade e sobrejetividade de uma transformação?

Basicamente, devemos olhar pra dimensão do espaço nulo e da imagem.

Pra T ser injetora devemos ter:

dim ⁡ K e r T = 0

Já para T ser sobrejetora, devemos ter:

dim ⁡ c o n t r a d o m í n i o = d i m ⁡ ( I m T )

Massa! Então bora analisar nossa afirmação, basicamente precisamos provar duas coisas:

T   injetora ⇒ T sobrejetora

T   sobrejetora ⇒ T injetora

Bom, se T   é injetora então:

dim ⁡ K e r T = 0

Pelo teorema fundamental da álgebra, sabemos que:

dim ⁡ d o m í n i o = dim ⁡ K e r T + dim ⁡ I m T

Lembrando que:

dim ⁡ d o m í n i o = dim ⁡ c o n t r a d o m í n i o = d i m ⁡ ( V )

Temos:

dim ⁡ V = d i m ⁡ ( I m ( T )

Logo, T   é sobrejetora.

Vamos ver se o contrário também é verdade!

Se T é sobrejetora, então:

dim ⁡ I m T = dim ⁡ V

Assim, novamente pelo teorema fundamental da álgebra:

dim ⁡ d o m í n i o = dim ⁡ K e r T + dim ⁡ I m T

∴ dim ⁡ V = dim ⁡ K e r T + dim ⁡ V

⇒ dim ⁡ K e r T = 0

Portanto T   é injetora.

Perfeito então, com isso nós mostramos que a afirmação (I) é verdadeira 😉

Passo 2

II. A segunda afirmação diz que T será injetora se, e somente se, T ∘ T for injetora.

Essas afirmações com “se, e somente se” pra serem verdadeiras precisa valer tanto a ida com a volta.

Tipo assim, precisamos primeiro provar que, se T é injetora então T ∘ T também será. Essa é a ida.

Mas, precisamos também provar que se T ∘ T for injetora, então T também será. Essa é a volta.

Sacou?

Então vamo lá! Começando pela ida, se T é injetora significa que:

T u 1 = T u 2 ⇔ u 1 = u 2

Isso é válido para qualquer u 1 ,   u 2 ∈ V . Assim, como a função composta:

T ∘ T u = T T u

Fazendo T u = v ,   onde v ∈ V , temos:

T ∘ T u = T v

Como supomos antes, T é injetora. Logo, T ∘ T   também será, concluindo a prova da ida 😊

Agora provando a volta, seja T ∘ T injetora.

Vamos supor que existe u ∈ K e r ( T ) . Logo:

T ∘ T u = T T u

Como u ∈ K e r ( T ) , temos T u = 0 . Daí:

T ∘ T u = T 0 = 0

Mas, T ∘ T é injetora, logo obrigatoriamente u = 0 . Ou seja,

K e r T = 0

Logo, T é injetora 😊

Perfeito, conseguimos provar a ida e a volta, assim a afirmação (II) é verdadeira!

Passo 3

III. A terceira afirmação diz que a dimensão de K e r ( T ) é igual a dimensão do subespaço vetorial gerado pelas linhas da matriz T B , onde B é uma base de V .

Pensa comigo, essa afirmação é meio estranho porque a gente pode tranquilamente ter uma transformação T injetora, daí:

dim ⁡ K e r T = 0

Eaí, só porque T é injetora, a matriz T B será nula (para que tenha dimensão do subespaço gerado também nula)?

Não faz sentido né pessoal? Mas para que fique bem argumentado, devemos encontrar um contraexemplo. Vamos pensar na transformação injetora mais simples de todas. Então:

T u = u

Daí, sendo B a base canônica, temos que:

T 1,0 = 1,0

T 0,1 = 0,1

Logo:

T B = 1 0 0 1

Mas, as linhas de T B   são formadas pelos vetores ( 1,0 ) e ( 0,1 ) . Logo, o subespaço gerado por esses vetores é justamente o R 2 , com dimensão valendo 2 .

Só que, como T é injetora,

dim ⁡ K e r T =   0 ≠ 2

Portanto, a afirmação (III) é falsa ☹

É isso então, apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras.

Espero que vocês tenham entendido bem, até a próxima galeraaa 😊

Resposta

Letra B.

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