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Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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Enunciado

Seja   T :   M 2 × 2   R → P 2 R a transformação linear dada por T a b c d = a + b + c x + c + 2 d x 2 , α = 1 0 1 0 , 1 0 0 1 , 1 1 0 0 , 0 0 1 0   e β = { x ,   1 - x 2 , 2 } base de P 2 ( R ) .

c) Determine uma base para o k e r T . T   é sobrejetora?

Passo 1

Para achar o núcleo da transformação basta igualá-la a zero, nesse caso, como a imagem é o P 2 , iremos igualar ao polinômio nulo:

a + b + c x + c + 2 d x 2 = 0 + 0 x + 0 x 2

a = 0 b + c = 0 ⟹ b = - c c + 2 d = 0 ⟹ d = - c 2

Conseguimos botar as variáveis em função de c , nossa variável livre. Como o núcleo é um subconjunto do domínio, será um subconjunto de M 2 × 2   R .

k e r T = 0 - c c - c 2 , ∀   c ∈   R = s p a n 0 - 1 1 - 1 2

Passo 2

Agora vamos descobrir se T   é sobrejetora. Para ser sobrejetora I m T = P 2 R (imagem igual ao contra-domínio).

Podemos verificar isso pelo Teorema do Núcleo–Imagem, lembrando que dim ⁡ P 2 R = 3 , então, se a imagem for igual a P 2 R , deve ter dimensão igual a 3 também.

dim ⁡ M 2 × 2   = dim ⁡ k e r T + dim ⁡ I m ( T ) ⟺ 4 = 1 + dim ⁡ I m T ⟺ dim ⁡ I m T = 3

Deu exatamente o que queríamos!! Assim, T é sobrejetora.

Resposta

k e r T = s p a n 0 - 1 1 - 1 2 , T é sobrejetora

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