Seja a transformação linear dada por , e base de .
c) Determine uma base para o é sobrejetora?
Passo 1
Para achar o núcleo da transformação basta igualá-la a zero, nesse caso, como a imagem é o iremos igualar ao polinômio nulo:
Conseguimos botar as variáveis em função de , nossa variável livre. Como o núcleo é um subconjunto do domínio, será um subconjunto de .
Passo 2
Agora vamos descobrir se é sobrejetora. Para ser sobrejetora (imagem igual ao contra-domínio).
Podemos verificar isso pelo Teorema do Núcleo–Imagem, lembrando que , então, se a imagem for igual a , deve ter dimensão igual a 3 também.
Deu exatamente o que queríamos!! Assim, é sobrejetora.
Resposta
, é sobrejetora