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Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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Enunciado

USP, Álgebra Linear 2, P1-2017, Questão 09

09) Sejam a , b ∈ R e considere a transformação linear T : P 2 R → P 2 ( R ) definida por:

T α + β t + γ t 2 = α + β - α + γ t + α a + γ b t 2 ,

para quaisquer α , β ,   γ ∈ R . Assinale a alternativa correta:

a) T será injetora se, e somente se, a ≠ b ;

b) T será injetora se, e somente se, a > b ;

c) T será sobrejetora se, e somente se, a 2 = b 2 ;

d) T será bijetora se, e somente se, a = b ;

e) T será sobrejetora se, e somente se, a > b .

Passo 1

Ooie gente bonita do Responde Aí, todo mundo animado pra matar mais uma questão?

Aqui temos uma transformação linear T , com domínio e contradomínio em P 2 ( R ) , que é definida da seguinte forma:

T α + β t + γ t 2 = α + β - α + γ t + α a + γ b t 2

Basicamente, a questão tá interessada em saber quais as condições entre a , b para que T seja injetora, sobrejetora ou bijetora.

Vamos começar analisando a injetividade. O que a transformação precisa obedecer pra ser injetora?

Deve valer que:

dim ⁡ K e r T = 0

Show! Bora descobrir a dimensão do espaço nulo de T .

Para um polinômio qualquer que pertença a K e r ( T ) , deve valer que:

T α + β t + γ t 2 = 0

Ou seja:

α + β - α + γ t + α a + γ b t 2 = 0 + 0 t + 0 t 2

Assim, podemos montar o seguinte sistema:

α + β = 0 α + γ = 0 α a + γ b = 0

Resolvendo essas equações, temos:

β = - α γ =   - α α a - b = 0

Pra essa última equação temos duas possibilidades:

a - b = 0

Ou:

α = 0

Se tivermos a - b = 0 , então o polinômio que pertence a K e r ( T ) pode ser escrito como:

α + β t + γ t 2 = α ( 1 - t - t 2 )

Assim, a dimensão do espaço nulo seria:

dim ⁡ K e r T = 1

Consequentemente T não seria injetora. Analisando a segunda possibilidade, temos:

α = 0 e a ≠ b

Logo, o polinômio genérico que pertence a K e r ( T ) seria escrito como:

α + β t + γ t 2 = 0

Ou seja, teríamos dim ⁡ K e r T = 0 .

Portanto, a conclusão que tiramos é que pra T ser injetora precisa valer que a ≠ b .

Massa!

Com isso já dá pra marcar uma alternativa, mas como estamos bonzinhos hoje, bora analisar a sobrejetivade também haha!

Passo 2

Pô, analisar a sobrejetividade pela definição mesmo, às vezes é um pouco complicado. Tem que testar se a base que encontramos para a imagem é formada por vetores L.I, depois calcular a dimensão e etc.

Uma forma bem melhor de atacar esse problema é lembrar do seguinte teorema:

Se

dim ⁡ d o m í n i o = dim ⁡ c o n t r a d o m í n i o

Então:

T   é   i n j e t i v a ⇔ T   é   s o b r e j e t i v a

Esse teorema é muito útil nessa questão, porque tanto o domínio como o contradomínio estão em P 2 ( R ) , logo as dimensões do domínio e o contradomínio realmente são iguais.

Daí, pelo teorema, a injetividade implica sobrejetividade. E, como vimos no passo anterior, se:

a ≠ b

Então T é injetiva. E, consequentemente, T também será sobrejetiva.

Portanto, a condição de sobrejetividade, e por consequência de bijetividade, é que:

a ≠ b

Viu que forte esse teorema? Poupou um trabalho absurdo de conta.

Perfeito! Analisando as alternativas, vemos que a única que representa essa condição é a letra a).

É isso galera, aproveita agora pra fazer uma pausa, beber uma água, e depois já volta no embalo pra gente matar mais questões 😉

Resposta

Letra a.

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