Seja uma transformação linear dada por:
(a) Determine uma base para o núcleo de T. T é injetora?
Passo 1
(a) O núcleo da transformação linear é a solução do sistema homogêneo.
Logo vamos igualar a expressão dada ao vetor nulo:
Pela segunda equação:
E pela terceira:
Então os vetores que pertencem ao núcleo são da forma:
Logo, uma base para o núcleo é:
pois todos os vetores do núcleo são gerados a partir desse.
Passo 2
Para a transformação ser injetora, o núcleo deveria ser o conjunto vazio, ou seja, só poderia ter o vetor nulo dentro dele.
Mas vimos que na verdade o núcleo é gerado a partir do vetor .
Logo, a transformação não é injetora.
Resposta
(a) Base:
Não é injetora.