Seja uma transformação linear dada por:
(a) Determine uma base para o núcleo de T. T é injetora?
Passo 1
(a) O núcleo da transformação linear é a solução do sistema homogêneo.
Logo vamos igualar a expressão dada ao vetor nulo:
Pela segunda equação:
E pela terceira:
Então os vetores que pertencem ao núcleo são da forma:
Logo, uma base para o núcleo é:
pois todos os vetores do núcleo são gerados a partir desse.
Passo 2
Para a transformação ser injetora, o núcleo deveria ser o conjunto vazio, ou seja, só poderia ter o vetor nulo dentro dele.
Mas vimos que na verdade o núcleo é gerado a partir do vetor .
Logo, a transformação não é injetora.
Resposta
(a) Base:
Não é injetora.
Exercícios de Livros Relacionados
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Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.
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Seja a aplicação T :R 2 → R 3 x , y → ( x + k y ,x + k ,y ) Verificar em que caso(s) T é linear:a) k = x b) k = 1 c) k = 0
Consideremos a transformação linear T : R 2 → R 2 definida por T x , y = ( 3 x - 2 y ,x + 4 y ) . Utilizar os vetores u = ( 1 ,2 ) e v = ( 3 , - 1 ) para mostra que T 3 u + 4 v = 3 T u + 4 T ( v ) .