Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

Ver Teoria
Exercício 161234567891011121314151718192021222324252627282930313233343536373839

Enunciado

A2 T13

Seja T : P 2 R → R 3 a transformação linear dada por:

T a 0 + a 1 x + a 2 x 2 = a 0 + a 2 , 2 a 1   , a 1 - a 2

E sejam α = 1 + x , x 2 , x - x 2 e β = 1,0 , 1 , 2,0 , - 1 , 0,1 , 0 bases para P 2 R e R 3 respectivamente.

a Prove que T é isomorfismo.

Passo 1

-

a Como as dimensões do domínio e do contradomínio de T são iguais, para provarmos que T é isomorfismo, basta provarmos que ele é sobrejetor ou injetor.

A imagem de T é dada por:

a 0 + a 2 , 2 a 1 , a 1 - a 2 = a 0 1,0 , 0 + a 1 0,2 , 1 + a 2 1,0 , - 1

Como os vetores geradores são L I , a imagem de T possui dimensão 3 . Logo, T é sobrejetiva e, portanto, pelo T N I , T é um isomorfismo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios de Livros Relacionados

Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3
Seja a aplicação T :R 2 → R 3 x , y → ( x + k y ,x + k ,y ) Verificar em que caso(s) T é linear:a) k = x b) k = 1 c) k = 0
Consideremos a transformação linear T : R 2 → R 2 definida por T x , y = ( 3 x - 2 y ,x + 4 y ) . Utilizar os vetores u = ( 1 ,2 ) e v = ( 3 , - 1 ) para mostra que T 3 u + 4 v = 3 T u + 4 T ( v ) .