Seja T : P 2 R → R 3 a transformação linear dada por:

T a 0 + a 1 x + a 2 x 2 = a 0 + a 2 , 2 a 1   , a 1 - a 2

E sejam α = 1 + x , x 2 , x - x 2 e β = 1,0 , 1 , 2,0 , - 1 , 0,1 , 0 bases para P 2 R e R 3 respectivamente.

a Prove que T é isomorfismo.

Passo 1

-

a Como as dimensões do domínio e do contradomínio de T são iguais, para provarmos que T é isomorfismo, basta provarmos que ele é sobrejetor ou injetor.

A imagem de T é dada por:

a 0 + a 2 , 2 a 1 , a 1 - a 2 = a 0 1,0 , 0 + a 1 0,2 , 1 + a 2 1,0 , - 1

Como os vetores geradores são L I , a imagem de T possui dimensão 3 . Logo, T é sobrejetiva e, portanto, pelo T N I , T é um isomorfismo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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