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Exercícios Resolvidos de Lei de Coulomb

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Enunciado

Fundamentos de Fisica - Vol. 3. Halliday - 9ª Edição, Capítulo 21 – seção 4 - Problema 21.

(Cap 21 Ex – 21) Uma casca esférica não condutora, com um raio interno de 4,0   c m e um raio externo de 6,0   c m , possui uma distribuição de cargas não uniforme. A densidade volumétrica de carga ρ é a carga por unidade de volume, medida em coulombs por metro cúbico. No caso dessa casca, ρ   =   b / r , em que r é a distância em metros a partir do centro da casca e b   =   3,0   μ C / m 2 . Qual é a carga total da casca?

Passo 1

E ai galerinha, tudo certinho?

Bora resolver essa comigo?

Pra começar, vamos fazer uma ilustração:

Como a carga não está distribuída de maneira uniformes, vamos ter que usar a densidade superficial, olha só:

d q = ρ d V

Vamos dar uma olhada como fica esse d V :

V = 4 3 π r 3

Derivando,

d V = 3 × 4 3 π r 2 d r → d V = 4 π r 2 d r

Passo 2

Então vamos ver como fica nossa carga!

d q = ρ d V

Como d V = 4 π r 2 d r e ρ   =   b / r :

d q = b r 4 π r 2 d r

Assim,

d q = 4 b π r d r

Pra acharmos a carga total na casca, basta integrar entre de r 1 até r 2 . Logo,

Q = 4 π b ∫ r 1 r 2 r d r

Então,

Q = 4 π b r 2 2 r 1 r 2  

Portanto,

Q = 2 π b   r 2 2 - r 1 2

Para r 2 = 6   c m , r 1 = 4   c m e b   =   3,0   μ C / m 2 :

Q = 3,8 × 10 - 8 C

Resposta

Q = 3,8 × 10 - 8 C

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