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Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 2 Restrições

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Exercício 33123456789101112131415161718192021222324252627282930313234353637383940414243444546474849

Enunciado

UFF – Cálculo IIB – VR – Questão 4b

Considere a função f x , y = x 2 - y 2 e a região D = x , y ∈ R 2 ; x 2 + y 2 ≤ 4 .  

b) Use multiplicadores de Lagrange para achar possíveis extremos de f no contorno de D .

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver esse problema, vamos lá? O problema deu essa função aqui

f x , y = x 2 - y 2

E um região D

D = x , y ∈ R 2 ; x 2 + y 2 ≤ 4

f , usando multiplicadores de Lagrange no contorno da região D . Mas como fazer isso?

O contorno da região é quando temos a igualdade em D

x 2 + y 2 = 4

Essa será nossa restrição

g x , y = x 2 + y 2 = 4

Então a ideia aqui é aplicar a teoria dos multiplicadores, usando essa restrição ai! Beleza? Bora começar?

Passo 2

A função que queremos maximizar/minimizar é a f

f = x 2 - y 2

∇ f = ( 2 x , - 2 y )

E nossa restrição

g = x 2 + y 2

∇ g = ( 2 x , 2 y )

Tudo bem até aqui?

Agora pelos multiplicadores temos que

∇ f = λ ∇ g

2 x , - 2 y = λ ( 2 x , 2 y )

Mais nossa restrição g = x 2 + y 2 = 4   Aí ficamos com um sistema

2 x = λ 2 x - 2 y = λ 2 y x 2 + y 2 = 4

Beleza? Agora precisamos analisar todas as possibilidades de solução!

Passo 3

Vamos analisar com carinho esse sistema! Verificando todas as opções!

2 x = λ 2 x - 2 y = λ 2 y x 2 + y 2 = 4

Temos que λ ≠ 0 , pois se fosse o contrário teríamos x = y = 0 pelas duas primeiras equações e que não satisfazem a terceira equação!

Temos também que se λ = 1 (da primeira equação), isso não é possível pela segunda equação

- 2 y = 2 y

Então temos que λ ≠ 0,1 , - 1 . Só nos resta que x = 0 ou y = 0 . Se x = 0 :

x 2 + y 2 = 4 → y = ± 2 → 0,2 ,   0 , - 2

E se y = 0 :

x 2 + y 2 = 4 → x = ± 2 → 2,0 ,   ( - 2,0 )

Sendo assim os possíveis pontos de extremos no contorno de D são

0,2 ,   0 , - 2 , 2,0 ,   ( - 2,0 )

Belezinha?

Até a próxima!

Resposta

0,2 ,   0 , - 2 , 2,0 ,   ( - 2,0 )

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