UFSCAR, São Carlos, Cálculo 2, P3 - 2018.2, Questão 4a
Era uma vez um plano encantado. Neste plano, os habitantes eram os pontos. Um dia, um ponto cientista decidiu medir o quanto cada habitante era legal e criou uma função que media isso. A função era dada por
.
Quanto maior o valor de , mais legal o ponto era.
Utilize o Método de Multiplicadores de Lagrange, para determinar os pontos mais legais e mais chatos da curva de equação .
Passo 1
Eaew, belezinha?
A função mede o quanto legal uma pessoa é, ou seja, se queremos saber quem é a pessoa mais legal, temos que procurar o máximo da função
.
Poderíamos fazer isso usando métodos de Cálculo , mas o enunciado indica para usarmos o método dos multiplicadores de Lagrange. Se lembra como fazemos isso? O segredo é construir três equações
em que e são as derivadas parciais em relação a e . E, a função é uma restrição que pode ser obtida a partir da expressão
Aplicando o método iremos encontrar a constante que nos dá o ponto de máximo absoluto! Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos achar a função da restrição
precisamos obter uma restrição do tipo
portanto, de nossa curva, temos que
Esse passo foi bem curtinho! Mas, tendo isso em mãos podemos calcular as derivadas parciais! Vamos lá!
Passo 3
Lembrando que as derivadas parciais são calculadas considerando constante toda variável que não está sendo derivada, temos que
lembrando que é visto como constante, e que derivadas de constante são nulas, podemos usar a regra do tombo
para obter que
Analogamente, temos que
Ou seja, a primeira equação é da forma
Para encontrar a segunda equação, temos que fazer um processo análogo ao que fizemos acima, mas agora considerando constante e derivando em relação a , obtemos que
Vamos resolver o sistema de equação formado por e e obter um ponto de máximo (mínimo) absoluto! Vem comigo!
Passo 4
Aqui temos que as coisas são bem simples! Note que da equação podemos identificar diretamente que
se usarmos na equação , temos que
Isolando , obtemos que
Usando em nossa restrição , temos que
de onde podemos obter que
nós teremos que escolher entre e levando em consideração que queremos o nosso ponto máximo! Para isso, vamos usar a definição de nossa função!
Passo 5
Temos que os pontos têm coordenadas , portanto, para e , obtemos
ou simplesmente
da mesma forma, como temos que depende apenas de , o ponto com , nos levará ao mesmo valor. Ambos são pontos de máximo! Portanto
e
Mas, e os pontos mais chatos? Ou seja, os pontos de mínimo! Vamos ter que voltar para a equação , saca só!
Passo 6
A equação tem mais uma solução, ao invés de tomarmos , e termos uma solução para qualquer , podemos usar a solução , que nos leva para
De nossa restrição, temos que o valor de será então
e, portanto, temos que
Temos então dois pontos e , usando a definição de nossa função, podemos escrever que
e
ou seja, temos que o ponto de mínimo é
A primeira alternativa foi isso! Te vejo na próxima! Até já!
Resposta
Pontos mais legais são e e o mais chato