Superfícies, Interseção de Superfícies, Máximos e Mínimos, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Multiplicadores de Lagrange
Determine o valor de máximo e de mínimo de sobre a curva de interseção das superfícies e
Passo 1
Opa, valores máximos e mínimos sobre uma curva? Isso é dever para o Sr. LaGrange! Temos uma função, que será max/minimizada, e temos uma restrição, que é a curva de interseção das superfícies.
Bom, antes de mais nada, precisamos saber que restrição é essa! Temos duas superfícies, um cilindro :
E, para a outra, temos um paraboloide hiperbólico:
Agora você me pergunta: Mas como eu vou encontrar essa curva de interseção?!? E eu te respondo: Também não sei XD
Pois é, vai ser massacrante. Se fosse uma curva bonitinha, uma circunferência no plano , a gente até se esforçava pra encontrar...
E agora? O que faremos? Vamos simplesmente ignorar que estamos em uma curva! Vamos dizer que temos duas restrições! Sim, pois estar sobre uma curva é o mesmo que dizer, em duas etapas, que estamos sobre uma superfície e sobre a outra!
Enfim, nossa equação para os multiplicadores de LaGrange fica com duas restrições:
Em que e são, respectivamente, as equações do cilindro e do paraboloide hiperbólico, e e são seus multiplicadores!
Passo 2
Show, partiu agora encontrar esses vetores gradientes? Vamos começar pela função :
E, então, nosso vetor gradiente é:
Agora, para a equação do cilindro,
E, então, nosso vetor gradiente par ao cilindro é:
Por fim, para o paraboloide hiperbólico, teremos:
E, finalmente, o vetor gradiente do paraboloide hiperbólico é:
Perfeito! Fiz essa parte rapidinho por que né… vamos matar logo essas derivadas ;) Só pra organizar, nossos vetores gradiente são:
Passo 3
Agora, temos que montar o sistema com os vetores gradiente e seus multiplicadores! Temos:
Igualando as coordenadas, temos:
Olha que coisa linda! Está vendo ali a terceira equação? Ela já nos diz que o valor de será ! Então, podemos olhar para o sistema com esse valor substituindo:
Dando aquela ajeitadinha...
Passo 4
Perfeito, o que mais podemos fazer? Está vendo a segunda equação? Veja que, para ela ser , então, ou , ou , certo? Vamos usar isso então para descobrir os valores de e !
Tomando , podemos ir direto para a equação das restrições. Vamos ver o que encontramos para esses valores de na restrição :
Beleza! Agora, que temos que, se , então , podemos descobrir o valor de , pela restrição :
E aí está! Como , tanto faz se é ou ! Com isso, chegamos em dois pontos,
Tranquilo até aqui?
Passo 5
Prosseguindo, temos ainda que testar o que acontece quando , lembra? Colocando esse valor para na segunda equação, não temos nada de interessante, mas, para a primeira, temos:
E aí está! Com esse valor de , podemos descobrir o valor de pela restrição :
Beleza! Agora, que temos que, se , então , podemos descobrir o valor de , pela restrição :
Com isso, chegamos em dois pontos,
Tranquilo até aqui?
Passo 6
Vamos testá-los e ver qual é o máximo e qual é o mínimo?
Para , temos:
Para , temos:
Para , temos:
Para , temos:
Fechada a questão! é o ponto de máximo, e e são os pontos de mínimo!
Resposta
é o ponto de máximo e e são os pontos de mínimo.