Seja
- Mostre que tem exatamente dois pontos de mínimo e infinitos pontos de máximo na esfera
- Determine os pontos de mínimo e de máximo de no conjunto
Passo 1
Para provar que existem máximos ou mínimos, independente da quantidade deles, tudo o que temos que fazer é calculá-los, nesse caso, usando multiplicadores de Lagrange, pois temos a restrição da esfera!
Assim essa restrição vai ser
Vamos resolver pelo método da matriz, que tal? Podemos dizer que
Pois os vetores gradiente de e são múltiplos um do outro.
Passo 2
Legal, agora temos que encontrar os vetores gradientes!
Para a função , temos:
Calculando as derivadas parciais,
E o vetor gradiente é:
Passo 3
Agora calcularemos o vetor gradiente da esfera:
Calculando as derivadas parciais, teremos:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais (coordenadas dos vetores gradientes), podemos resolver o sistema do Passo ! Veja como fica o determinante:
Desenvolvendo o determinante, teremos:
E agora igualando cada componente a , teremos:
E daí tiramos que:
Passo 5
Beleza, agora temos que ver quais são os possíveis valores de , e .
Da primeira equação, temos que ou ou devem ser iguais a . Para a segunda, ou ou devem ser iguais a . Ou seja, no caso de , qualquer par atende a qualquer uma das equações!
Colocando essa nossa conclusão na equação da restrição, teremos que:
E o valor de nesses pares será:
Como pela restrição ,
Ou seja, temos infinitos pontos nos quais a função vale .
Passo 6
Mas e no caso de ? Bom, se for assim, pela primeira equação, então deve valer , e pela segunda deve valer ! Então, . Colocando esse valor na restrição, teremos:
E aí está! deve ser !
Colocando esses valores na função , teremos:
E pronto, é só isso, acabamos de ver que para os pontos , o valor da função é . E enquanto isso, para os pontos ela assume valor .
Isso prova que ela tem infinitos pontos de máximo e apenas dois pontos de mínimo!
Passo 7
Note que agora temos uma segunda restrição, o plano . Assim, vamos aplicar Lagrange novamente, mas acrescentando essa outra restrição. É mais ou menos o que fizemos no item , mas agora o sistema fica sendo:
Onde
E, lembrando do item já sabemos que e que
Passo 8
Calculando agora o gradiente da função :
Sendo que suas derivada parciais são:
E o gradiente é
Passo 9
E repetimos o mesmo processo do item , vamos montar o determinante e igualar cada componente a . Colocando os valores das derivadas nele fica:
E o determinante fica:
Dessa vez, como não temos os unitários , não faz sentido igualar a uma vetor, mas sim ao escalar ! Parece tornar tudo mais difícil, né? De fato... mas tenha em mente que essa parada é metódica, então temos que conseguir tirar alguma relação conveniente daí.
Parece uma boa ideia juntar os termos iguais e cortar os que se anulam:
Beeem melhor, não? To falando… a parte difícil já passou :) Agora vamos dividir por e colocar o em evidência:
E pronto! Já consegue descobrir alguma relação entre , e ?
Passo 10
O que podemos concluir do passo anterior, é que para a equação valer , ou vale , ou vale ! Na primeira opção, colocando nas restrição, teremos:
Pela primeira equação, temos que . Se colocarmos esse valor na segunda, fica:
Cortando os e juntando os :
Dividindo por colocando o em evidência:
E pronto! Temos, dessa equação que ou , ou !
Passo 11
Para descobrir os valores de , basta colocar os valores de em uma das restrições. Como a primeira é menos chata (não tem nada ao quadrado), vamos escolher essa. Colocando na primeira restrição, teremos:
Colocando na primeira restrição, teremos:
Como quando , e quando , , ambas as conclusões tendo , formamos os pontos e !
Passo 12
Beleza, agora vamos voltar na conta do determinante. Tínhamos:
Então ainda vamos testar a opção, de . Se assumirmos isso, então podemos fazer que . Colocando essa relação das restrições, teremos:
Ou seja,
E da primeira equação temos que . Colocando esse valor na segunda equação, teremos:
Cortando os e juntando os , temos:
Colocando em evidência,
E daí tiramos que, ou , ou ;) Mesma coisa que no passo anterior!
Passo 13
Colocando esses dois valores que encontramos para na primeira equação da restrição temos, lembrando que estamos adotando , para :
E pronto... !
Colocando o segundo valor na primeira restrição, teremos:
Como agora temos os valores de para cada correspondente, formamos os pontos e .
Passo 14
E, finalmente agora que temos os pontos, podemos ver seus valores correspondentes para e definir quais são máximo e quais são mínimos! Lembrando que
Colocando o ponto , teremos:
Colocando o ponto , teremos:
Colocando o ponto , teremos:
Colocando o ponto , teremos:
E com isso, temos que e são pontos de máximo, enquanto é ponto de mínimo.
Resposta
a) Ponto de máximo: . Ponto de mínimo:
b) e são pontos de máximo, enquanto é ponto de mínimo.