Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Multiplicadores de LaGrange
Seja . Sabendo que é um conjunto fechado e limitado, determine os pontos de que estão mais próximos e mais distantes de .
Passo 1
Vamos lá, queremos encontrar o máximo e o mínimo de uma função, percebe? É da função distância! Ela, em pode ser dada por:
Ok, e agora? Pense comigo, se a pergunta fosse: O quão perto e o quão longe eu posso estar da origem ? Não faria sentido, né? Porque o mais longe tenderia a infinito, enquanto o mais perto, tenderia a uma distância nula!
Exatamente por isso que nos foram dadas duas restrições para essa distância: os pontos devem estar tanto na superfície como no plano ! Assim, vamos resolver esse problema usando multiplicadores de LaGrange, pois temos uma função que deve ser maximizada/minimizada, dentro dessas duas restrições!
Passo 2
Antes de começar propriamente a montar a equação dos multiplicadores, vem uma dica que você vai querer guardar: Essa raiz na equação da distância vai atrasar a nossa vida na hora de derivar para pegar os vetores gradientes, né? Então, vamos elevá-la ao quadrado! Sim, pois o máximo da função distância casa certinho com o máximo da função “distância ao quadrado”, percebe? E o mesmo vale para o mínimo das duas! Então, nossa função que será max/minimizada, será:
Ok, sem mais enrolação, como temos duas restrições, chamemos a primeira de e a segunda de . Assim, pelo método dos multiplicadores de LaGrange:
Passo 3
Chegou a hora de calcular as derivadas propriamente ditas! Comecemos pelas derivadas que formam o vetor gradiente da função :
Como o método dos multiplicadores de LaGrange envolve apenas a direção dos vetores, podemos usar o vetor ao invés de !
Agora, calculando as derivadas parciais de ,
Novamente, como só importa a direção, podemos dividir esse vetor gradiente por ! Assim, não teremos mais esses coeficientes, todos iguais, tirando o último do ;) Usaremos, então, o vetor
E, enfim, as derivadas de ,
Passo 4
Agora jogamos tudo na equação dos multiplicadores de LaGrange:
Montando o sistema, igualando as coordenadas dos vetores, temos:
Show? Vamos continuar resolvendo esse sistema!
Se subtraírmos a segunda (contando de cima para baixo) da primeira, teremos:
Viu? Conseguimos eliminar o :)
Se subtraírmos a terceira da segunda, teremos:
Passo 5
Do primeiro resultado que tiramos,
Temos que , ou , concorda?
Supondo que , a segunda equação que fizemos , fica assim:
Aí agora olhamos para as outras equações que temos, e vemos o que podemos fazer… Veja que, na equação , também aparece . Então, subtraíndo a equação com da , temos:
Finalmente!! Conseguimos algum resultado, hein? Suando aqui…
Passo 6
Como temos uma das variáveis, com valor definido, e temos duas equações para as restrições, é melhor negocio substituir nas equações e e encontrar as variáveis e :D
Colocando na equação , temos:
E, colocando essa relação entre e na equação , temos:
Desenvolvendo a equação...
Resolvendo a equação do segundo grau, temos:
E aí está! Mais dois possíveis valores para !
Passo 7
Lembrando que conseguimos esses valores com o e com a relação . Jogando de volta os valores de nesse última equação, temos:
Assim, temos que quando , e vice versa!
Conseguimos, por fim, os seguintes pontos, juntando os respectivos valores de , e :
Passo 8
Acha que terminou?? Não está esquecendo de nada? Qual foi a “premissa” que tomamos para chegar nesses dois pontos? Foi dizer que , lembra!? Agora temos que testar o caso em que !
Mas parece que vai ser um pouco menor, afinal, já temo que , então, quando encontrarmos , encontramos !
Colocando na equação , teremos:
Colocando na equação , teremos:
Pegando, então, a relação e jogando nessa última equação,
E daí tiramos que, ou , ou ! Beleza?
Assim, já temos também os valores de , pois , lembra? E, para descobrir os valores de , temos a relação:
Logo, se , e, se ,
Juntando esses valores, temos os pontos:
Passo 9
Agora sim!! Temos tudo o que precisamos, já testamos todos os casos, agora é pegar cada ponto e substituir na equação da função !
Vamos lá! Para o ponto , temos
Para o ponto , temos:
Para o ponto , temos:
Para o ponto , temos:
Assim, os pontos e são ponto de máximo, enquanto e são ponto de mínimo :)
Resposta
e são ponto de máximo, e e são ponto de mínimo.