Calculo 2 – UFPE – 2° EE
Use o Método dos Multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos da elipse, determinada pela interseção do plano com o cilindro que estão mais próximo da origem e mais distante da origem.
Passo 1
Para podermos desenvolver o problema e utilizar o método de Lagrange em si, precisamos determinar a função que queremos maximizar e minimizar.
Esta é uma função distância de um ponto até a origem . Calculando a função distância entre os dois pontos, temos:
Bom, podemos simplificar agora a nossa vida. Ao invés de maximizarmos e minimizarmos a função distância, podemos fazer o procedimento para o quadrado da distância, pois ambas possuem os mesmos pontos de máximo e mínimo. Assim, eliminaremos a raiz da função e todo o cálculo fica mais simples. Portanto, a nossa função será:
Agora que já temos a nossa função, vamos identificar as restrições. Para esta questão, temos um problema de duas restrições (duas superfícies de nível) dadas por:
E
Passo 2
Após identificarmos a função que queremos maximizar/minimizar e as restrições do nosso problema, já podemos montar o sistema de Lagrange que precisamos resolver. Ele é dado por:
Eita, ainda não calculamos as derivadas parciais das nossas funções , e (e seus gradientes consequentemente). Vamos agora determinar estes gradientes então. Portanto,
Portanto, o nosso sistema é:
Separando a primeira equação em 3 (analisando coordenada a coordenada, temos:
Se fizermos , teremos , . Das duas últimas equações, obtemos e
Portanto, temos o ponto . Se tivéssemos isolado e repetido o procedimento, obteríamos o ponto . Já obtemos dois pontos, vamos continuar resolvendo.
Agora, iremos assumir que , e consequentemente . Das duas primeiras relações, obtemos:
Dividindo as duas linhas, vamos obter:
Substituindo esta relação na relação vamos obter:
Substituindo na relação , vamos obter o seguinte valor de :
Para ,
Já para , temos:
Portanto, conseguimos os seguintes pontos e .
E assim obtivemos todas as soluções para o sistema.
Passo 3
Relembrando, conseguimos os seguintes pontos: , , e .
Agora, precisamos descobrir quem é de máximo e quem é de mínimo. Para resolvermos esta pergunta, precisamos substituir os valores destas coordenadas na nossa função e checar qual o maior valor e qual o menor valor.
Portanto, vamos as contas!
Dentre os quatro pontos, aquele que possui o maior valor da função é o ponto . Portanto, este é o ponto mais distante da origem.
Já o menor valor de aconteceu em dois pontos. Eles são e , os quais são os nossos pontos mais próximos da origem.
Resposta
O ponto mais distante da origem é . Já os pontos mais próximos são e .