Sejam e respectivamente, as distancias máxima e mínima entre os pontos que estão na interseção das superfícies
E a origem. É correto afirmar que:
- e não existem
Passo 1
Nosso objetivo é encontrar a distância máxima e mínima entre dois pontos. Ou seja, queremos maximizar e minimizar a função distancia entre um ponto que tá na interseção das duas superfícies e a origem:
Ok, e agora? Pense comigo, se a pergunta fosse: O quão perto e o quão longe eu posso estar da origem ? Não faria sentido, né? Porque o mais longe tenderia a infinito, enquanto o mais perto, tenderia a uma distância nula!
Exatamente por isso que nos foram dadas duas restrições para essa distância: os pontos devem estar na curva de interseção das duas superfícies, isso é, ele tem que estar tanto no cilindro quanto no plano .
Então, vamos resolver esse problema usando multiplicadores de Lagrange, pois temos uma função que deve ser maximizada/minimizada, dentro dessas duas restrições!
Passo 2
Mas antes, aquela dica esperta: Essa raiz na equação da distância vai atrasar a nossa vida na hora de derivar para pegar os vetores gradientes, né? Então, vamos elevá-la ao quadrado para facilitar nossas contas e depois a gente retoma a função normal. Então, nossa função que será max/minimizada, será:
Ok, sem mais enrolação, como temos duas restrições, chamemos a primeira de e a segunda de . Assim, pelo método dos multiplicadores de LaGrange:
Passo 3
Primeiro, calculamos os gradientes. Comecemos pelas derivadas que formam o vetor gradiente da função :
Como o método dos multiplicadores de LaGrange envolve apenas a direção dos vetores, podemos usar o vetor ao invés de !
Agora, calculando o gradiente de ,
Novamente, como só importa a direção, podemos dividir esse vetor gradiente por .
E, enfim, o gradiente de
Passo 4
Agora jogamos tudo na equação dos multiplicadores de LaGrange:
Montando o sistema, igualando as coordenadas dos vetores, temos:
Show? Vamos continuar resolvendo esse sistema!
Passo 5
Da segunda equação, de cara, já temos
Ou
E da terceira equação, temos que
Substituindo e na primeira equação:
Substituindo esse resultado na ultima equação:
E consequentemente,
Por fim, colocando isso na quarta equação:
Achamos então os pontos:
Passo 6
Beleza, mas esses pontos foram encontrados partindo da premissa que . Vamos utilizar agora a outra possibilidade: .
Substituindo na quarta equação:
Jogando isso na ultima equação:
E assim temos os pontos:
Passo 7
Agora sim!! Temos tudo o que precisamos, já testamos todos os casos, agora é pegar cada ponto e substituir na equação da função !
Vamos lá! Para o ponto , temos
Para o ponto , temos:
Para o ponto , temos:
E para o ponto ponto , temos
Beleeeeeeza, mas esse é um momento que precisamos de muita atenção.
Queremos o máximo e o mínimo da função , que é aquela que tem a raíz.
Então: