Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente
Encontre os valores máximo e mínimo da função
Sobre a curva de interseção do plano
Com o elipsoide
Passo 1
Calcular os valores de máximo e mínimo sobre uma curva de interseção é o mesmo que calcular os valores de máximo e mínimo restrito as duas superfícies que formam a curva de interseção.
Assim, vamos usar os multiplicadores de LaGrange com duas restrições:
Em que e são, respectivamente, as equações do plano e do elipsoide, e e são seus multiplicadores!
Passo 2
Show, partiu agora encontrar esses vetores gradientes? Vamos começar pela função :
E, então, nosso vetor gradiente é:
Agora, para a equação do plano,
E, então, nosso vetor gradiente para o plano é:
Por fim, para o elipsoide, teremos:
E, finalmente, o vetor gradiente do elipsoide é:
Passo 3
Agora, temos que montar o sistema com os vetores gradiente e seus multiplicadores! Temos:
Igualando as coordenadas, temos:
Isolando na segunda e terceira equação, temos:
Igualando as duas:
Antes de cortar o , precisamos considerar que pode ser solução.
Beleza, vamos guardar isso então.
Agora podemos cortar e ficamos com
Substituindo isso na quarta equação:
Substituindo os valores de e em função de na ultima equação:
Assim,
Com isso, chegamos em dois pontos,
Passo 4
Prosseguindo, temos ainda que testar o que acontece quando , lembra? Colocando esse valor para na primeira equação
Agora, substituindo na segunda equação, temos
Ué, mas como pode ser e ao mesmo tempo??
Não pode né?
Isso significa que na verdade, não é solução.
Passo 5
Agora vamos testar pra ver qual é o ponto de máximo e qual é o de mínimo?
Para , temos:
Para , temos:
Fechada a questão! é o ponto de máximo, e é ponto de mínimo e os valores máximo e mínimo são e , respectivamente.
Resposta
Os valores máximo e mínimo são e , respectivamente.