Máximos e Mínimos, Multiplicadores de LaGrange, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente
Determine os valores de máximo e mínimo da função em , em que . Você pode admitir, sem justificar, que o problema tem solução.
Passo 1
Máximo e mínimo com restrição? Então partiu usar LaGrange! Vamos resolver o sistema para dois casos, como a restrição nos impõe: o primeiro, para , e o segundo, para .
Para o primeiro, temos que derivar as funções dadas, e :
Derivando em relação a cada variável, tratando as outras como constantes:
E o gradiente
Agora para a :
E o gradiente !
Passo 2
Show! Agora só precisamos fazer o produto vetorial entre os vetores gradientes e obrigá-los a ser . Assim, teremos o caso onde eles são paralelos, portanto, máximos ou mínimos!
Prosseguindo:
Como o produto deve ser , então:
E teremos o seguinte sistema, com as três coordenadas do vetor do produto e as restrições:
Passo 3
Pela segunda equação de cima para baixo, temos que
E, com isso, temos duas opções para o sistema.
A primeira, com , fica:
Vemos que a primeira e a terceira deram a mesma coisa, . Dessas equações, temos mais duas opções de resposta, que atendem ao resto do sistema, que são , então temoz pois adotamos , e para encontrar , jogamos esse valor de na quarta equação:
Como , pelo início das condições, então teríamos o ponto
Passo 4
E se tivéssemos escolhido ? Então teríamos que fazer um sistema entre a primeira e a quarta equações:
Cortando o na primeira, teremos
E, colocando esse valor na segunda, teremos:
Como adotamos nesse percurso, e como atende a restrição , temos mais dois pontos:
Passo 5
Show! Já descobrimos pontos ;) Agora temos que considerar o caso se , lembra? Supondo isso, teremos, para o sistema:
Exatamente como antes, podemos considerar como solução do sistema, tendo que, pela quarta equação:
E repetimos o ponto , pois, mesmo dessa vez , como , também!
Vamos considerar agora . Na primeira equação, teríamos:
Mas , pela restrição! Então, nesse caso, considerando , não temos solução, e nenhum ponto novo.
Ae ficamos com aqueles três pontos que já tínhamos encontrado ;)
Passo 6
A esta altura, eu também já tinha esquecido que a restrição laaa em cima, do enunciado também incluía . Uma pena XD Mas vamos lá! Já temos os pontos candidatos para , e para ? Bom, se você está pensando o mesmo que eu, é uma ótima ideia tacar esse valor de nas equações e ver no que dá:
Para , temos:
E em , teremos:
Passo 7
Se chamarmos a equação , que tem constante, de , uma função de duas variáveis, seu vetor gradiente será:
Calculando as derivadas parciais em relação a e de , temos:
E o vetor gradiente fica:
Passo 8
Agora temos que encontrar o vetor gradiente de . Se chamarmos essa função (que, com constante, se tornou função de duas variáveis) de , teremos que seu gradiente é:
Calculando as derivadas parciais em relação a e de , temos:
E o vetor gradiente fica:
Passo 9
Perfeito! Agora só temos que fazer o produto vetorial entre os vetores gradientes e ver quais são os pontos que o torna igual a , pois são paralelos!
Logo,
Show!! Bem menor do que o determinante de três variáveis né? Como a restrição agora é , temos que resolver o seguinte sistema:
Tomando , na segunda equação teremos:
E temos dois pontos, e , lembrando que estamos encontrando apenas os valores de e pois está lá parado em !
Tomando , teremos, na segunda equação:
E temos mais outros dois pontos! e , pois e têm sinais trocados ;)
Passo 10
Agora chegou a hora! Vamos pegar os pontos que encontramos, de a , substituir na função, e ver quais são máximo ou mínimo!
Substituindo em , temos:
Substituindo em , temos:
Substituindo em , temos:
Substituindo em , temos:
Substituindo em , temos:
Substituindo em , temos:
Substituindo em , temos:
Portanto, o maior valor de ocorre em e , que é , e o menor ocorre em e , e é
Resposta
O valor de máximo é e de mínimo é