Quais são os pontos da interseção entre o paraboloide e o que estão mais próximos da origem? Qual é esta menor distância?
Passo 1
Oi! Tá bem? A gente vai usar nossa imaginação aqui. Então segura na minha mão e vem!
A fórmula da distância entre a origem e um ponto no espaço tridimensional (onde as superfícies estão) é
A gente quer mínima distância. Então queremos minimizar . Mas ele disse que para faciitar as contas, a gente pode usar . E por que? Essa é a :
Uma função com raiz quadrada é muito mais dificil de derivar. E a gente precisa calcular derivadas para achar o máximo e mínimo de uma função.
E a gente pode fazer essa mudança porque a função e a função tem os mesmos pontos de máximo e de mínimo. Então podemos usar qualquer uma delas, beleza?
Então vamos minimizar a função
Passo 2
Cara, mas quem são esses valores de para gente? São os pontos que são a interseção entre o plano e o paraboloide .
Os pontos pertencem ao mesmo tempo a essas duas superfícies. Ou seja, nossos precisam satisfazer essas duas equações.
Percebe o que a gente tem aqui? Temos que minimizar uma função , mas estão restringidos a duas equações. Isso quer dizer que temos que usar os multiplicadores de Lagrange com duas restrições!
Nossas restrições são
Aí a gente faz essas mudanças nas equações que são nossas restrições: joga todas as variáveis para um lado e chama o lado das variáveis de uma função nova:
E agora é montar a fórmulinha
Por ela a gente acha os nossos pontos. Vem comigo!
Passo 3
Vamos calcular os gradientes de cada função
Aí a nossa fórmulinha fica
Daí tiramos as equações
Agora a gente monta um sisteminha com essas equações e as equações que são nossas restrições. Fica assim:
Partiu resolver esse cara! Segura na minha mão e vem!
Passo 4
Temos
As duas primeiras equações têm um termo em comum, vamos isolar esse termo nelas
Igualando essas duas coisinhas
Agora calma: dá para cortar esse termo dos dois lados né? Mas antes, a gente precisa avaliar a situação onde esse termo zera, porque isso também satisfaria nossa equação. Fica assim
Aí sim, a gente pode voltar para aquela equação e cortar esse termo
Ficamos então com duas situações para avaliar: ou .
Passo 5
Vamos começar avaliando o caso em que
Substituindo na primeira equação
Substituindo e na segunda e na terceira:
E substituindo e na quinta equação
Com isso achamos os pontos
Vamos testar esses pontos na equação do plano, para ver se eles são nossos candidatos:
Esse ponto não satisfez nossa equação. E o outro ponto também não vai satisfazer. Por isso, eles não serão nossos candidatos, belezinha?
Passo 6
Mas calma, ainda tem o caso . Tenha esperança!
Substituindo na quarta equação
Vamos substituir isso e na última equação:
Resolvendo essa equação:
Daí a gente tira que
Temos então os pontos:
Passo 7
Agora a gente substitui nossos candidatos na função que queremos minimizar para ver quem vai ser o ponto de distância mínima.
Para o ponto :
Para o ponto :
Como é uma soma de termos positivos, a gente pode considerar ele maior que .
Assim, o nosso ponto de mínimo é , e ele vai ser o ponto da nossa elipse que tem a menor distância em relação à origem.
E para achar que distância é essa, a gente só precisar lembrar que
Prontinho!