Determine o volume máximo de uma caixa retangular cuja superfície tem e a soma dos comprimentos de todas as arestas é

Nesse passo vamos calcular as derivadas então, belê? A começar pelas derivadas parciais da fórmula do volume . Vamos ter:

Agora pra restrição , derivamos e achamos:

E por fim, pra restrição , derivamos e achamos:

O sistema de equações então se resume a:

Show galera, o que vamos fazer agora é mexer com as equações pra gerar as restrições necessárias. Veja que em todas elas a gente tem um solto que dá pra eliminar subtraindo uma equação da outra! Fazendo , achamos:

Colocando em evidência do lado esquerdo:

E colocando agora em evidência:

Portanto pra isso ser possível ou ou . Show! Mas isso aiiiinda não nos diz nada. Portanto, vamos precisar mexer mais com as equações do sisteminha. De forma parecida, bora fazer agora:

E colocando em evidência:

O que resulta em ou ou . Ai você vai me perguntar: tá, mas e dai? Veja bem, a gente sabe já que e satisfazem as equações, mas não sabemos quem é ! Relaxa que não tem problema, afinal se:

Então quem tá certo é a outra condição, pra cada um dos casos, que seria:

O que implica em ! Show! As condições que vamos testar então são:

Vamos usar cada uma dessas igualdades dentro da equação das restrições

E ver quais pontos surgem nesses casos. Partiu?

Primeiro caso:

Nesse caso, vamos ter nossas restrições se tornando:

O mesmo que:

Conseguimos isolar na segunda equação, achando . Usando essa equação dentro da primeira, achamos:

Opa, polinômio de segundo grau! Seja:

Calculamos:

Logo, o polinômio se reduz a:

Resultando em dois valores de possíveis:

Achamos o valor de bem rapidinho, nesse caso, se jogarmos dentro da restrição :

Resultando nos pontos:

Segundo caso:

É galera, não tem jeito, vamos repetir os procedimentos ok? Primeira coisa que fizemos antes foi reescrever as restrições, né não? A mesma coisa aqui! Elas vão virar

O que é o mesmo que:

E galera, olha só a macete! O nosso segundo caso ficou muito parecido com o primeiro! Só mudou quem chamamos de que! Se seguirmos a mesma estratégia e isolarmos , na primeira euqção vamos ter um polinômio de segundo grau de com a mesma cara do polinômio que achamos no passo anterior:

Resultando em dois valores de possíveis:

E pra esses valores, dentro da restrição , achamos os mesmos valores de :

Resultando nos pontos:

Terceiro caso:

Ok, vimos que o primeiro caso teve muita coisa em comum com o segundo, mas será que o terceiro tem também? Se você apostou que sim, apostou certo! Podemos até poupar contas (mas não poupa na prova não tá? Só aqui mesmo) e extrapolar. Como do caso pro acabou acontecendo isso:

Do caso pro vai acabar acontecendo isso:

Gerando os últimos dois pontos:

Quase acabando galera! Conseguimos todos os pontos possíveis, mas como eles afetam o valor do volume!? Os pontos são:

E o volume é:

Pô pessoal, a função é um produto de todas as variáveis, então os pontos vão dar o mesmo resultado, já que eles são na prática só uma mudança de localização do . O volume, nesse caso, sera:

O mesmo vai valer pros pontos galera, pelo mesmíssimo motivo! Calculando o volume, achamos:

Então feshow galera! O volume máximo vai ser , já que esse valor é maior que .