USP – Sem Campus – Cálculo 2 – Provas Antigas – P2 – N3 – 2021.2 – Questão 3
Determinar, se existirem, o máximo e mínimo absolutos de no domínio . De acordo com sua resolução foi obtido:
Obs.: Usar Multiplicador de Lagrange para resolução
o máximo absoluto de em é , e o mínimo absoluto de em é
o máximo absoluto de em é , e o mínimo absoluto de em é
o máximo absoluto de em é , e o mínimo absoluto de em é
o máximo absoluto de em é , e o mínimo absoluto de em é
não existem valores de máximo absoluto e nem de mínimo absoluto de em
Passo 1
Oiiie, tudo bem?
Em nosso enunciado temos que nos foi dada uma função , e pedem para nós calcularmos os máximo e mínimos absolutos sobre um domínio, ou melhor, uma restrição que pode ser identificada como . Essas informações são importantes pois é conveniente para a aplicação do método de Multiplicadores de Lagrange citado na observação dada no enunciado! O método é tal que construímos uma nova função da forma
Na equação temos que é a função dada no enunciado e temos que é a restrição igual a zero, ou seja, . O método que vamos utilizar requer que nós calculemos os extremos desta função resolvendo o seguinte sistema de equações
Sei que parece um monstrinho, mas com calma a gente chega lá! Vamos fazer isso!
Passo 2
Primeiro vamos escrever nossa nova função , como
Ou, evidenciando alguns termos apenas para simplificar a função, temos
Agora precisamos montar o nosso sistema de equações utilizando as derivadas parciais que escrevi no passo 1, belezinha?
Passo 3
Temos que
Estas quatro equações são o nosso sistema linear, precisamos resolver isso e obter os pontos extremos de nossa função dentro do domínio! Bora lá!
Passo 4
Note que aqui temos que tomar cuidado, pois, a equação e nos dá duas situações diferentes. Aquela na qual tomamos , e portanto, é qualquer dentro do domínio estabelecido pela equação , mas pela equação , temos que necessariamente . No entanto, se escolhermos , temos então qualquer no domínio da equação e . Vamos fazer primeiro o caso em que . Da equação temo que
Ou seja, com , temos
Substituindo então e na equação , podemos fixar um valor para no domínio, temos
Ou, resolvendo a soma, e tirando a raiz, temos
Podemos utilizar isso para calcular o valor de , temos
Obtendo o valor . Vamos avaliar agora a outra possibilidade!
Passo 5
Se tomarmos que , temos que
E, da equação , com , temos
Resolvendo e tirando a raiz, temos
Que nos leva ao seguinte valor da função
De onde obtemos o valor . Agora vamos verificar se ambos estes valores são relacionados à um máximo ou mínimo!
Passo 6
Para fazer isso, vamos testar um ponto qualquer pertencente ao domínio, por exemplo . Neste ponto, temos que
Como , portanto, é um máximo absoluto, e como , este segundo ponto não representa um mínimo absoluto, o verdadeiro ponto de mínimo, no entanto ocorre em , em que . Esta é a resposta de nossa questão! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
FFFVF