Determine a menor e a maior distancia entre a origem e o compacto
Passo 1
Vamos lá, queremos encontrar o máximo e o mínimo de uma função, percebe? É da função distância! Ela, em pode ser dada por:
E essa função distancia está restrita ao compacto , que possui duas restrições. Assim, vamos usar a técnica dos Multiplicadores de Lagrange com duas restrições.
Mas antes, só uma dica: essa raiz na equação da distância vai atrasar a nossa vida na hora de derivar para pegar os vetores gradientes, né? Então, vamos elevá-la ao quadrado! Sim, pois o máximo da função distância casa certinho com o máximo da função “distância ao quadrado”, percebe? E o mesmo vale para o mínimo das duas! Então, nossa função que será max/minimizada, será:
Além disso, como estamos buscando o máximo e mínimo da função no compacto , o teorema de Weierstrass nos garante a existência desses pontos nno compacto.
Ok, sem mais enrolação, como temos duas restrições, chamemos a primeira de e a segunda de . Assim, pelo método dos multiplicadores de LaGrange:
Passo 2
Vamos ao cálculo desses vetores gradientes então.
Começando pela função , que já sabemos certinho quem é:
Assim,
Agora vamos para a função . Para defini-la, vamos pegar tudo da equação da primeira restrição, jogar para a esquerda e chamar de :
Assim, seu gradiente fica:
Por fim, para definir nossa função , vamos fazer a mesma coisa, só que com a equação da segunda restrição:
Assim, o gradiente fica
Passo 3
Agora que já temos todos os gradientes calculados, vamos montar a equação dos multiplicadores de lagrange:
Ficamos com o sistema:
Passo 4
Para começar a resolver essa bagaça, vamos fazer a primeira equação menos a segunda:
Daí, temos duas situações. A primeira delas é e a segunda é .
Vamos analisar as duas.
Começando pela primeira:
Substituindo isso na quarta e na quinta equação do sistema, ficamos com:
Substituindo a segunda na primeira:
Assim
Ou
Como , temos também que
Ou
E, como , temos
Ou
Dessa forma, temos dois pontos
Passo 5
Show, mas esses dois pontos a gente obteve analisando aquele primeiro caso. Ainda falta o segundo caso, que é o caso
Levando isso em consideração, a gente pode cortar o termo naquela equação que a gente encontrou:
Que, convenhamos, era o que nossa mão tava coçando pra fazer desde o inicio, né? Rsrs mas a gente não podia simplesmente fazer isso sem analisar o outro caso.
Mas enfim, agora a gente pode e, cortando, obtemos que
Daí, substituindo isso na primeira ou na segunda equação do sistema (vamos escolher a primeira por motivos de: me deu vontade):
Com isso, da terceira equação do sistema
Tiramos que
Passo 6
Substituindo isso na quarta e na quinta equação do sistema:
Ficamos com
Isolando o na primeira equação:
E substituindo na segunda equação:
Chegamos na equação de segundo grau:
Que resolvendo por Báskhara fica:
Logo
Ou
E, como
Ou
E a gente já sabe que
Dessa forma, temos mais dois pontos
Passo 7
Alô alô graças a Deus, agora é só a gente substituir esses pontos na função e vê quem é o máximo e quem é o mínimo.
Assim,
É o ponto de com maior distancia a origem e
E
São os pontos de com menor distancia a origem.
Resposta
É o ponto de com maior distancia a origem e
E
São os pontos de com menor distancia a origem.