UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 5 - Pontos Críticos, Máximos e Mínimos, Multiplicadores de Lagrange. Questão 10.
10 - Considere a curva dada pela intersecção do cilindro de equação com o plano . Determine as distâncias máximas e mínimas dos pontos de ao plano .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nesse problema, temos um cilindro elíptico dado pela equação e um plano dado pela equação . Digamos te esses sejam focos de luzes invisíveis no céu e que quando se cruzam, se tornam visíveis para a gente, algo parecido com um holograma. Se a gente plotar o gráfico da intersecção do plano e do cilindro, vamos ter algo parecido com isso nos céus.
Ops, espera aí, não é isso não!
Agora sim!
O que queremos calcular é a distância máxima e mínima dessa curva ao plano . E aí? Como vamos fazer isso? 🤔🤔
Bola lá que eu te mostro!
Passo 2
Podemos começar calculando os gradientes da equação do cilindro e do plano pois com eles vamos usar o multiplicador de Lagrange.
O gradiente da equação do cilindro é dado por
Derivando a equação com relação a , vamos obter
Como e se comportam como constantes, com isso suas derivadas são , então podemos desconsiderar. Já a derivada de é obtida pela derivação de polinômios onde multiplicamos a variável pela potência e subtraímos do expoente.
Derivando com relação a , vamos seguir as mesmas ideias. Vamos derivar pelo método de derivação de polinômios sendo e constantes.
Como não temos na equação, sua variável é .
Com isso, temos o gradiente do cilindro dado por
Bacana, não é?
Passo 3
Agora vamos calcular o gradiente do plano
Derivando a equação do plano com relação a , as variáveis e vão ser consideradas constantes e assim como no gradiente anterior, vamos usar o método de derivação polinomial, logo
A derivada com relação a é dada por
Já a derivada com relação a
Com isso, nosso gradiente do plano é dado por
Tranquilo até aqui? 👀👀
Passo 4
Agora vamos usar o multiplicador de Lagrange para definir
Com isso, vamos ter o seguinte sistema de equações
Podemos descartar a ultima equação pois ela não nos diz nada.
Vamos dividir os dois lados da primeira equação por pra deixarmos tudo igual a lambda.
Assim podemos igualar as duas primeiras equações e encontrar uma relação entre e .
Isolando em um lado da equação, temos
Vemos que os pontos de máximos e mínimos fazem parte do plano então vamos substituir essa informação na equação do plano e na equação do cilindro pra obter os valores de .
Passo 5
Na equação do cilindro, vamos ter
Com isso, encontramos que será
Substituindo na equação do plano, temos
Substituindo os valores de que encontramos nesse passo, temos
Ou seja, encontramos a maior distância como e a menor distância é !
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
Resposta
Maior distância:
Menor distância: