Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo da função

Restrita aos pontos da curva dada pela interseção do plano

Com a esfera unitária

Vamos calcular todos esses gradientes aí.

Começando pelo gradiente de :

Agora o gradiente da restrição :

Por fim, o gradiente da restrição :

Mas podemos dividir isso por , pois assim facilitamos as contas e não alteramos a direção do vetor, apenas seu módulo e isso não tem problema. Ficamos então com

Vamos montar o determinante e igualar cada componente a . Colocando os valores das derivadas nele fica:

E o determinante fica:

Dessa vez, como não temos os unitários , não faz sentido igualar a uma vetor, mas sim ao escalar ! Parece tornar tudo mais difícil, né? De fato... mas tenha em mente que essa parada é metódica, então temos que conseguir tirar alguma relação conveniente daí. E, de fato, podemos tirar que:

E pronto! Já consegue descobrir alguma relação entre , e ?

O que podemos concluir do passo anterior, é que para a equação valer , ou , ou

Da primeira opção, podemos tirar que

Substituindo isso nas equações das restrições, temos

Pela primeira equação, temos que . Se colocarmos esse valor na segunda, fica:

Assim

Ou

Então, como estávamos partindo do pressuposto que e , temos

E

Ou

Temos então os candidatos:

Agora vamos trabalhar com a segunda opção que achamos lá no passo 4:

Isolando o , temos

Substituindo isso na restrição do plano

Assim

Substituindo e na restrição da esfera

Assim

Ou

Então, como estávamos partindo do pressuposto que e , temos

E

Ou

Temos então mais dois candidatos:

UFA! Finalmente agora que temos os pontos, podemos ver seus valores correspondentes para e definir quais são máximo e quais são mínimos! Lembrando que

Colocando o ponto , teremos:

Colocando o ponto , teremos:

Colocando o ponto , teremos:

Colocando o ponto , teremos:

E com isso, temos que é ponto de máximo, enquanto e são pontos de mínimo.