IME, Cálculo 2, 2019, VC, Q2
Determine, caso existam, os pontos do que pertencem à curva e que apresentam a maior e a menor distância, respectivamente ao plano . A curva é obtida pela interseção entre as superfícies e .
Obs.: Resolva a questão utilizando conhecimentos obtidos no Cálculo 2. Na resolução da questão não se pode fazer substituição de variável.
Passo 1
Fala, pessoal! Aqui estaremos aplicando a Teoria dos Multiplicadores de Lagrange. Esta visa maximizar/minimizar uma função (distância ao plano ) sob restrições . Nesse caso,
A fim de facilitar a derivação utilizaremos , pois se um número é extremo em módulo será ao quadrado bem como. Certo, se tem um valor extremo em na curva de interseção das restrições e o produto vetorial , então existem tais que:
Simbora! Quanto aos gradientes, temos:
Note que para:
Se, e somente se, .
Passo 2
E vejamos:
Daí, e lembrando que pertence às curvas de restrição:
Das 3 primeiras equações:
Com isso . Aplicando isso na equação:
Logo, e no passo anterior . Assim,
Aplicando na equação, contudo, teremos:
Contudo, temos:
Por fim, como , temos que . Assim, os pontos achados são extremos.
Passo 3
Passemos à análise dos extremos. Repare que:
É importante analisarmos a vizinhança dos pontos. A curva de interseção entre o elipsoide e o plano é uma elipse centrada fora da origem e inclinada como o plano. Assim, ambos os pontos seriam pontos de máximo, pois na elipse a distância aumentaria e reduziria novamente de ambos os lados.
Desses dois candidatos, representa o ponto com maior distância como mostrado. A menor distância ao plano é , logo tome , logo:
Resposta
O ponto de maior distância do plano é:
E os pontos de menor distância são: