Seja a curva de interseção entre as superfícies
E
Determine os pontos de que estão mais próximos da origem.
Passo 1
Vamos lá, queremos encontrar o mínimo de uma função, certo? E essa função é a função distância da origem! Ela, em pode ser dada por:
Ok, e agora? Pense comigo, se a pergunta fosse: O quão perto eu posso estar da origem ? Não faria sentido, né? Porque isso tenderia a uma distância nula!
Exatamente por isso que nos foram dadas duas restrições para essa distância: os pontos devem estar tanto na superfície
como no cilindro
Assim, vamos resolver esse problema usando multiplicadores de Lagrange, pois temos uma função que deve ser minimizada, dentro dessas duas restrições!
Passo 2
Antes de começar propriamente a montar a equação dos multiplicadores, vem uma dica que você vai querer guardar: Essa raiz na equação da distância vai atrasar a nossa vida na hora de derivar para pegar os vetores gradientes, né? Então, vamos elevá-la ao quadrado! Sim, pois o máximo da função distância casa certinho com o máximo da função “distância ao quadrado”, percebe? E o mesmo vale para o mínimo das duas! Então, nossa função que será max/minimizada, será:
Ok, sem mais enrolação, como temos duas restrições, chamemos a primeira de e a segunda de . Assim, pelo método dos multiplicadores de LaGrange:
Passo 3
Chegou a hora de calcular as derivadas propriamente ditas! Comecemos pelas derivadas que formam o vetor gradiente da função :
Agora, calculando as derivadas parciais de ,
E, enfim, as derivadas de ,
Passo 4
Agora jogamos tudo na equação dos multiplicadores de LaGrange:
Montando o sistema, igualando as coordenadas dos vetores, temos:
Show? Vamos continuar resolvendo esse sistema!
Da Terceira equação, considerando , temos direto que
Passo 5
Substituindo nas duas primeiras equações:
Da primeira, temos
E da segunda:
Igualando as duas equações que acabamos de achar:
Abrindo esse quadrado perfeito:
E resolvendo essa equaçãozinha do segundo grau, chegamos em dois valores para :
Passo 6
Substituindo em uma das relações entre e que achamos no passo anterior:
Agora, fazendo a mesma coisa com , temos:
Passo 7
Beleza, temos duas possibilidades então:
E
Substituindo nas equações das restrições, da equação 4 temos que
E consequentemente,
Agora, substituindo isso na equação 3, temos:
E isso é impossível.
Assim, a possibilidade não é válida. Portanto, não nos fornece nenhum ponto candidato a mínimo da função.
Passo 8
Mas ainda temos a outra possibilidade, que era .
Substituindo nas equações das restrições:
E consequentemente,
Agora, substituindo isso na equação 3, temos:
Assim, temos os pontos
Passo 9
Show! Temos dois candidatos então!
Maaaaaaaas, não podemos esquecer que chegamos até aqui partindo da premissa de que .
Vamos então considerer a outra possibilidade:
Substituindo na equação 4:
Mas, da equação 5, temos que
Substituindo isso na equação de cima:
E isso só é possível se
Ou
Passo 10
Se :
E temos os pontos
E, se :
E temos mais dois pontos
Passo 11
UFAAAAA
Agora sim, já testamos todas as possibilidades, então já temos todos os candidatos que poderíamos ter.
Testando na função pra ver quem é o mínimo:
Assim, os pontos de que estão mais próximos da origem são os pontos
Tá bem? Então tá bem.
Resposta
Os pontos de que estão mais próximos da origem são os pontos