Encontre, caso existam, os pontos de máximo e mínimo absolutos da função
Para pertencente à curva que é dada pela interseção do colindro
E o plano
Passo 1
Opa, valores máximos e mínimos sobre uma curva? Isso é dever para o Sr. Lagrange! Temos uma função, que será max/minimizada, e temos uma restrição, que é a curva de interseção das superfícies.
Bom, antes de mais nada, precisamos saber que restrição é essa! Temos duas superfícies, um cilindro e um plano. A curva de interseção disso provavelmente dará uma elipse, mas na real você não precisa saber disso e muito menos parametrizar esse negócio.
Sabe por que?
Pois estar sobre uma curva de interseção é o mesmo que dizer, em duas etapas, que estamos sobre uma superfície e sobre a outra!
Enfim, nossa equação para os multiplicadores de LaGrange fica com duas restrições:
Em que e são, respectivamente, as equações do cilindro e do paraboloide hiperbólico, e e são seus multiplicadores.
Passo 2
Show, partiu agora encontrar esses vetores gradientes? Vamos começar pela função :
E, então, nosso vetor gradiente é:
Agora, para a equação do cilindro,
E, então, nosso vetor gradiente par ao cilindro é:
Por fim, para o plano, teremos:
E, finalmente, o vetor gradiente do paraboloide hiperbólico é:
Resumindo, nossos vetores gradientes são:
Passo 3
Agora, temos que montar o sistema com os vetores gradiente e seus multiplicadores! Temos:
Igualando as coordenadas e acrescentando as equações das restrições, temos:
Olha que coisa linda! Está vendo ali a terceira equação? Ela já nos diz que o valor de será ! Então, podemos olhar para o sistema com esse valor substituindo:
Dando aquela ajeitadinha...
Passo 4
Agora, dividindo a primeira equação pela segunda, ficamos com
Logo
Agora podemos substituir isso na equação do cilindro:
Assim, podemos descobrir os valores de :
Passo 5
Mas ainda falta encontrar os valores de .
Pra isso, podemos substituir os valores de e que já encontramos na equação do plano:
Que coisa bonita, né? Sqn
Nossos candidatos a máximo e mínimo ficam então:
Passo 6
Agora vamos ver qual é o máximo e qual é o mínimo?
Para , temos:
Para , temos:
Fechada a questão! é o ponto de mínimo e é ponto de máximo!
Resposta
é ponto de mínimo absoluto.
é ponto de máximo absoluto.