UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 5 - Pontos Críticos, Máximos e Mínimos, Multiplicadores de Lagrange. Questão 8.
8 - Determine a equação do plano que passa pelo ponto e determina com os planos coordenados um tetraedro de volume máximo.
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Aqui temos um problema de maximização, no caso foi dito que um plano forma um tetraedro com os planos coordenados , e . Mas não é qualquer tetraedro, já que o plano deve passar pelo ponto .
A ideia com isso, é encontrar o plano que faça com que temos o maior volume possível no tetraedro.
E agora? O que devemos fazer pra encontrar esse plano?? 🤔🤔
A primeira coisa é definir a equação que descreve o volume de um tetraedro. Lembrando lááá do tempo de escola, o volume de um tetraedro é dado por
E a equação de um plano? Lembra?
Vamos definir um plano genérico dado por
Beleza! Agora podemos começar nossos cálculos! 😎
Passo 2
O que temos que fazer é encontrar um modo de obter , , e !
Vamos usar o multiplicador de Lagrange para encontrar a relação entre o volume e a equação do plano
Onde é o gradiente da equação.
Como todas as derivadas estão em primeira ordem, as derivadas vão ser obtidas pelo método da derivação de polinômios subtraindo do expoente.
As derivadas parciais serão
Pelo mesmo método, o gradiente de é
Esse gradiente é formado pelas derivadas parciais
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Com os gradientes calculados temos
Ou seja, temos um sistema formado por
Podemos manipular essas equações de modo que as equações do lado direito fiquem todas iguais. Se multiplicarmos os dois lados da igualdade por um valor, isso não vai mudar nossa equação, concorda?
Então se multiplicarmos a primeira equação por , a segunda por e a terceira por , vamos ter
Se assim como , então
Assim como se e , logo
Ou seja
Interessante, não é?
Passo 4
Substituindo essa informação na nossa equação genérica
Por tabela, se , então
Substituindo pelo nosso ponto e isolando de um lado da equação, temos
Com isso, podemos afirmar que
Temos que nos livrar de então vamos defini-lo em função de , e . Substituindo pelas coordenadas do nosso ponto na equação genérica do plano, temos
Calma, estamos chegando no fim!
Passo 5
Substituindo e no nosso plano, temos
Veja só a magica agora! Se dividirmos os dois lados da equação por , o que vamos obter?
Essa é a equação do nosso plano onde , , e !
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
