Enconte, caso existam, os pontos de máximo e mínimo absolutos da função
Para pertencente à curva que é dada pela interseção do cilindro
E o plano
Passo 1
Opa, queremos encotrar máximo e mínimo em cima de uma curva de interseção de duas superfícies.
Considerar a curva de interseção como uma restrição, é o mesmo que considerar as duas superfícies como duas restrições.
Então, vamos usar o método dos multiplicadores de LaGrange com duas restrições.
Assim
Em que e são, respectivamente, as equações do cilindro e do plano, e e são seus multiplicadores!
Passo 2
Show, partiu agora encontrar esses vetores gradientes? Vamos começar pela função :
E, então, nosso vetor gradiente é:
Agora, para a equação do cilindro,
E, então, nosso vetor gradiente par ao cilindro é:
Por fim, para o plano, teremos:
E, finalmente, o vetor gradiente do plano é:
Passo 3
Agora, temos que montar o sistema com os vetores gradiente e seus multiplicadores! Temos:
Igualando as coordenadas, temos:
Olha que coisa linda! Está vendo ali a terceira equação? Ela já nos diz que o valor de será ! Então, podemos olhar para o sistema com esse valor substituindo:
Dando aquela ajeitadinha...
Passo 4
Tá vendo aquela primeira equação alí? Então, temos
E, da segunda equação, temos
Substituindo isso na quarta equação:
Disso, tiramos que
Substituindo isso na ultima equação:
Passo 5
Então, temos os candidatos a máximo e mínimo globais:
Vamos testá-los e ver qual é o máximo e qual é o mínimo?
Repara que a única coisa que muda de pra é que em subtraímos e em somamos . Ou seja
Asism,
É ponto de mínimo absoluto e
É ponto de máximo absoluto.
Resposta
É ponto de mínimo absoluto e
É ponto de máximo absoluto.