Considere a função e a região . A função tem pontos de máximo e mínimo na região ? Caso afirmativo, encontre-os.
Passo 1
Função com restrição? Máximos e mínimos? Manda Lagrange!
A região de restrição tem duas funções, e , então vamos usar o determinante de :
Show?
Passo 2
Próximo passo, encontrar essas derivadas parciais! Vamos começar pela função ?
Passo 3
Para a função , temos:
Beleza! Vamos ver agora as derivadas da função !
E é isso aí ;)
Passo 4
Vamos colocar os valores das derivadas no determinante. Ele vai ficar:
Desenvolvendo o determinante, teremos:
Ajeitando essa equação, fica:
Podemos dividir tudo por né?
E, colocando em evidência,
E é isso aí, melhor não deve dar pra fazer XD A dica é: sempre, no final, dê um jeito de colocar as coisas como produto! A questão é feita pra isso acontecer, pois facilita muito!
Passo 5
Vamos montar um sistema, então com a equação que acabamos de encontrar e as equações da restrição?
Pela primeira equação, temos que, ou , ou , certo? No caso de , teremos, na segunda equação,
Colocando esse resultado na terceira equação, colocando também, teremos:
Abrindo o produto notável, teremos:
Que fica:
E, assim, ou , ou , certo? Como tínhamos que , então, se , , e, se , .
Logo, para , temos os pontos:
Passo 6
Agora podemos testar a segunda hipótese de resolução para o sistema, que é o caso de . Colocando isso na segunda equação, teremos:
Colocando esse valor na terceira, teremos:
Ajeitando esses quadrados, teremos:
Juntando o com o , temos:
Dividindo tudo por , temos:
Multiplicando tudo por , temos:
Que é:
E, assim,
Colocando esse valor para , sabendo que e, temos que e .
Assim, os pontos que obtivemos são:
Passo 7
Agora que já temos todos os pontos candidatos, , podemos comparar os valores que assume em cada um!
Para ,
Para ,
Para ,
Para ,
Assim, e são pontos de mínimo, e é ponto de máximo.
Resposta
e são pontos de mínimo, e é ponto de máximo