Máximos e Mínimos, Multiplicadores de LaGrange
Seja a elipse determinada pela interseção das superfícies e . Determine o(s) ponto(s) de mais próximo(s) do ponto . Explicite a função utilizada e justifique todas as passagens.
Passo 1
Vamos lá, o problema é o seguinte: temos uma função “distância”, que deve ser minimizada. Obviamente, para que a distância não seja simplesmente , existe uma restrição. Ela diz que os pontos a serem avaliados para essa distância devem estar sobre a elipse ! Pegou a ideia? Teremos que usar LaGrange!
A distância entre dois pontos qualquer é dada por:
Beleza? Na verdade não, né... vai ser uma porcaria de derivar essa função XD Mas aqui vem uma dica preciosa: Como a função distância é sempre positiva (claro, não existe distância negativa), então, se elevarmos essa função ao quadrado, seus máximos e mínimos estarão sobre os mesmos pontos! Faz sentido né?
Assim, vamos usar a função:
E, como a distância é em relação ao ponto , podemos escrever:
Show! Agora está bem melhor!
Passo 2
Vamos prosseguir nessa missão? Apenas para efeitos formais, não deixe de dizer na sua prova que:
“Como é um conjunto fechado e limitado, por ser uma elipse, e como é uma função contínua em , pelo teorema de Weierstrass, a função assume máximos e mínimos em ”.
Sei que é chato, mas dependendo do seu examinador, pode ser que ele queira ler isso na sua prova :/
Dito isso, partamos para os Multiplicadores de LaGrange! Já temos a função, que é a , mas e quanto à restrição? Ora, estar sobre a elipse é o mesmo que estar, simultaneamente, sobre o plano e sobre o cone !
Assim, cada uma dessas superfícies é uma restrição! Para LaGrange de duas restrições, vamos dizer que os vetores gradientes dessas funções são Linearmente Independentes usando o determinante de :
Em que é o nosso plano e é o cone!
Passo 3
Partiu encontrar as derivadas parciais pra colocar no nosso determinante?
Começando pela função , teremos:
Agora, para a restrição , teremos:
Enfim, para a restrição , fica:
Show!
Passo 4
Agora é jogar essas derivadas no determinante! Fica:
Resolvendo o determinante, teremos:
Dando aquela ajeitadinha...
Fazendo as distributivas:
Juntando os termos com mesmas variáveis:
Colocando em evidência,
E, agora, dividindo por dos dois lados,
Show! Melhor que isso já não dá pra ficar XD
Passo 5
Agora, precisamos montar um sistema com a equação que encontramos e as equações das restrições! Fica:
Pela primeira equação, vemos que ou , ou , certo?
Primeiro vamos tentar nas restrições? Colocando na primeira, temos:
Jogando esse resultado na segunda restrição, teremos, caso :
E, assim, o ponto é
Caso , teríamos:
E, assim, teríamos o ponto !
Passo 6
Agora, vamos testar o caso de ? Não!! Hahaha po, se colocarmos teremos exatamente o mesmo resultado de ! Seria fazer as mesmas contas numa ordem diferente ;) Assim, as possíveis soluções para o problema são e , já encontrados!
Vamos ver que valores assume em cada ponto?
Para , teremos:
Para , teremos:
Assim, temos que é o ponto de maior distância, e o mais próximo!
Resposta
Ponto de máximo: . Ponto de mínimo: