A aceleração de um corpo com movimento retilíneo é dada por , onde é uma constante positiva. Sabendo-se que, quando , e , obter a velocidade e a posição como funções do tempo. Obter também como função de .
Passo 1
Lembrando que a aceleração é a variação da velocidade no tempo. Portanto, pode ser escrita como a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Substituindo a aceleração teremos:
Bem, para extrair a equação da velocidade em função do tempo desta equação, vamos ter que usar algo um pouco diferente do que estamos acostumados a fazer. Esta equação é chamada de equação separável e o que nós vamos fazer é justamente separar o termo do termo . Pode parecer meio esquisito, mas o importante é que funciona, basta deixar apenas os termos que tem de um lado e os termos que não tem do outro.
Entretanto, essa equação não faz o mínimo sentido! Mas calma, para consertá-la, basta integrar dos dois lados e tudo fica perfeito =)
Resolvendo as integrais encontramos:
Podemos criar uma nova constante :
Agora vamos utilizar o valor inicial dado no problema. Quanto , , portanto:
Então ficamos com a equação:
Isolando o (basta inverter a equação e multiplicar por ):
Passo 2
A velocidade é a variação da posição no tempo. Portanto, pode ser escrita como a derivada da posição em relação ao tempo:
Substituindo teremos:
Vejam que acabamos caindo na mesma situação do passo anterior, então essa é a hora de ver se você aprendeu mesmo! Vamos lá, tudo que tem de um lado, e tudo que não tem do outro:
Agora, para que isso faça sentido, precisamos integrar de ambos os lados:
Pra resolver essa integral é só usar substituição simples.
Daí a integral fica com essa cara.
Integrando dos dois lados a gente vai ter:
E agora substituímos novamente hehe:
Criando uma nova constante :
Usando o dado inicial dado no problema de que quando , :
Portanto, substituindo:
Passo 3
Agora a gente vai partir pra encontrar a velocidade em função da posição , e não do tempo.
Para obter em função de , precisamos sumir com o tempo da equação da velocidade. Para isso, vamos isolar o tempo na equação da posição:
Vamos chamar apenas de , não se preocupe, isso não altera em nada, é só estética:
Agora, substituindo o tempo na equação da velocidade, temos:
Enfim temos uma equação compacta para :