Uma corda de material homogêneo, de 20 m de comprimento e massa de 2 kg está esticada sob uma tensão de 10 N.

(a) Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude de 3 cm e frequência de 5 oscilações por segundo. A posição vertical inicial desta extremidade em t = 0 é 1,5 cm para cima. Escreva, como função do tempo, o deslocamento vertical de um ponto situado à distância x da extremidade que se faz oscilar, após ser atingido pela onda mas antes de que a mesma chegue à outra extremidade. Deixe também explícito qual é a velocidade v de propagação da onda progressiva.

Passo 1

(a) Podemos descrever o movimento de uma onda que se propaga numa corda no sentido positivo do eixo x, da corda, como:

y x , t = A   c o s ⁡ ( k x - ω t + ϕ )

A amplitude, dada na questão é A = 3   c m . E a frequência f = 5   s - 1 . Podemos achar a frequência angular,

ω = 2 π f = 2 π ∙ 5 = 10 π   s - 1

Precisamos achar o número de onda k e constante de fase ϕ .

Passo 2

Para chegar no número de onda, vamos primeiro achar a velocidade dessa onda. Uma onda que se propaga numa corda tem velocidade:

v = T μ  

Onde T é a tensão na corda e μ é a densidade linear de massa

μ = m L = 2   k g 20   m = 0,1   k g / m

v = 10   N 0,1   k g / m = 100 = 10   m / s

Podemos usar a relação

v = λ f = ω k

Então,

k = ω v = 10 π   s - 1 10   m / s = π   m - 1

Passo 3

Até agora, temos a equação

y x , t = 3   c m   c o s ⁡ [ π   x - 10 π   t + ϕ ]

Só falta descobrirmos a constante de fase. Para isso, vamos pegar algum ponto da onda.

“A posição vertical inicial desta extremidade em t = 0 é 1,5 cm para cima.”, em linguagem matemática:

y x = 0 , t = 0 = 1,5   c m

Substituindo na equação geral:

y 0,0 = 3   c m cos ⁡ ϕ = 1,5   c m

cos ⁡ ϕ = 1 / 2

ϕ = π 3

Substituindo tudo:

y x , t = 3   c m cos ⁡ ( π   m - 1 ) x - ( 10 π   s - 1 ) t + π 3

Resposta

  1. y x , t = 3   c m cos ⁡ ( π   m - 1 ) x - ( 10 π   s - 1 ) t + π 3 ,   v = 10   m / s

Exercícios Resolvidos de Velocidade e Potência de uma Onda na Corda

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