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Exercícios Resolvidos de Velocidade e Potência de uma Onda na Corda

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Enunciado

Uma onda senoidal é gerada numa corda e se propaga no sentido positivo de x com frequência de 20 Hz. A amplitude da onda é de 2 mm e o deslocamento inicial da corda é igual a metade desse valor. A tensão aplicada à corda vale 10 N e a densidade linear de massa vale 0,1 kg/m. Calcule:

a) A velocidade de propagação da onda na corda;

b) O comprimento de onda;

c) A constante de fase;

d) Escreva a equação do movimento da corda, explicitando todos os valores numéricos;

e) Calcule a velocidade transversal da corda para t = 0 s em x = 0 m. Use π = 3 e 3 ≅ 1,7 .

Passo 1

a) A velocidade a gente calcula:

v = T μ = 10 0,1

v = 10   m / s

Passo 2

b) O comprimento de onda é:

λ = v f = 10 20

λ = 0,5   m

Passo 3

c) Como a onda é senoidal, vai ser da forma:

y x , t = y m sin ⁡ ( k x - ω t + φ )

E o deslocamento inicial é metade da amplitude, então:

y 0,0 = y m sin ⁡ φ = y m 2

sin ⁡ φ = 1 2

φ = π 6   o u   5 π 6

Passo 4

d) Para escrever a equação do movimento da corda, precisamos achar k e ω . Então:

k = 2 π λ

k = 2 π 0,5 = 4 π   r a d / m

ω = 2 π f

ω = 2 π ∙ 20 = 40 π   r a d / s

Então:

y x , t = 0,002 sin ⁡ 4 π x - 40 π t + π 6

Ou:

y x , t = 0,002 sin ⁡ 4 π x - 40 π t + 5 π 6

Passo 5

e) Para achar a velocidade, temos que derivar em relação a t. Então:

v x , t = ∂ y x , t ∂ t = - 0,002 ∙ 40 π ∙ cos ⁡ 4 π x - 40 π t + π 6

Ou:

v x , t = ∂ y x , t ∂ t = - 0,002 ∙ 40 π ∙ cos ⁡ 4 π x - 40 π t + 5 π 6

Então:

v 0,0 = - 0,002 ∙ 40 π ∙ cos ⁡ π 6 = - 0,002 ∙ 40 π ∙ 3 2 = - 0,2   m / s

Ou:

v 0,0 = - 0,002 ∙ 40 π ∙ cos ⁡ 5 π 6 = - 0,002 ∙ 40 π ∙ - 3 2 = 0,2   m / s

Resposta

a) v = 10   m / s

b) λ = 0,5   m

c) φ = π 6   o u   5 π 6

d) y x , t = 0,002 sin ⁡ 4 π x - 40 π t + π 6 ou y x , t = 0,002 sin ⁡ 4 π x - 40 π t + 5 π 6

e) v 0,0 = - 0,2   m / s ou v 0,0 = 0,2   m / s

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