Origem do Exercício
Uma onda harmônica se propaga em uma corda fazendo a corda oscilar na direção . A massa específica linear da corda é . Os deslocamentos da corda nas posições e variam com o tempo de acordo com as seguintes equações:
Onde o tempo está em segundos, ao passo que estão em centímetros.
- Quais são a amplitude e o período dessa onda harmônica?
- Se for o valor do comprimento de onda em metros, qual será a tensão na corda em termos de ?
- Qual é o maior comprimento de onda compatível com os dados do enunciado?
Dica: Note que a função pode ser equivalentemente escrita como para qualquer número inteiro , ou seja, uma fase de pode ter sido omitida no enunciado. Por isso, há vários valores possíveis para o número de onda angular.
Passo 1
a)
A equação da onda é dada por:
O sinal já foi acertado pra direção da onda do enunciado.
Bom, olhando essa equação, você pode perceber que e
E o período? Tiramos daqui ó:
Assim:
Passo 2
b)
A velocidade da onda é dada por:
Aplicando o valor do período:
E a velocidade também pode ser dada por:
Aplicando o valor da densidade da corda(antes vamos converter pro SI):
Assim:
Passo 3
c)
Lembrando da equação da onda:
Comparando com a equação dada em e em
Assim:
Fazendo o mesmo para o caso em que
Assim:
Perceba que passamos os pro outro lado de cada equação sem muitas considerações. Afinal de contas, para o seno, tanto faz se é
Assim, ficamos com as equações:
Subtraindo a primeira da segunda:
Dando uma manipulada:
E lembrando que:
Ufa!!! O maior comprimento de onda vai ser gerado quando denominador ali de cima for mínimo, ou seja,
Resposta
a)
b)
c)