Exercícios Resolvidos de Velocidade e Potência de uma Onda na Corda

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Enunciado

Uma onda que se propaga ao longo de uma corda ideal apresenta a velocidade de fase ( v f ) igual à velocidade de grupo ( v g ). Porém, quando se considera uma corda real, a dependência da frequência angular ω com o número de onda k pode ser descrita pela relação de dispersão:

ω k = T μ k 2 + α k 4

onde α é uma constante positiva que depende das propriedades mecânicas da corda e T é a tensão aplicada na corda de densidade linear de massa μ . Se a razão entre a velocidade de fase e a velocidade de grupo é v f v g = 0,6 para uma onda com número de onda k = 0,1   m - 1 , para uma corda de densidade μ = 0,1   k g / m sujeita a uma tensão T = 10,0   N , o valor da constante α , no sistema SI, é:

a) 20000 .

b) 10000 .

c) 7500 .

d)   5000 .

e) 2500 .

f) 1250 .

g) nenhuma das respostas indicadas.

Passo 1

Pessoal, essa é uma questão um pouco diferente pois envolve o conceito de velocidade de fase e velocidade de grupo.

A velocidade de fase é a tradicional

v f = ω k

Em muitos casos, a velocidade de grupo é igual a velocidade de fase e isso ocorre quando a relação de dispresão é do tipo

ω k = v k

Isto é, quando ω depende linearmente de k . No caso geral, a velocidade de grupo é dada por

v g = d ω d k

No caso ω = v k , note que

v g = d ω d k = v = v f

Portanto, nessa situação as velocidades são de fato iguais. Acontece que nesse problema aqui a relação de dispersão não é desse tipo:

ω k = T μ k 2 + α k 4

Passo 2

Antes de derivar com relação a k , vamos reescrever como

ω = T μ k 2 + α k 4 1 / 2

Derivando com relação a k :

v g = 1 2 T μ k 2 + α k 4 - 1 / 2 ⋅ d d k T μ k 2 + α k 4

Ou ainda,

v g = 1 2 T μ k 2 + α k 4 ⋅ 2   T μ k + 4 α k 3

Portanto,

v g = T μ k + 2 α k 3 ω

Passo 3

Tomando a razão v f / v g :

v f v g = ω / k T μ k + 2 α k 3 / ω

Assim,

v f v g = ω 2 k T μ k + 2 α k 3

Substituindo a expressão para ω :

v f v g = T μ k 2 + α k 4 T μ k 2 + 2 α k 4

Por uma questão de simplicidade, vamos chamar r = v f / v g e h = T / μ . Assim,

r = h k 2 + α k 4 h k 2 + 2 α k 4

Vamos isolar α :

r h k 2 + 2 r α k 4 = h k 2 + α k 4

2 r - 1 α k 4 = h k 2 ( 1 - r )

Assim,

α = h ( 1 - r ) 2 r - 1 k 2

Passo 4

Vamos calcular numericamente h :

h = T μ = 10,0   N 0,1   k g / m

Assim,

h = 100   m 2 / s 2

Portanto,

α = 100 m 2 s 2   ( 1 - 0,6 ) 1,2 - 1 ⋅ 0,01   m - 2

Fazendo as contas:

α = 20000   m 4 / s 2

Desta forma, caímos na alternativa A 😉

Resposta

Alternativa A.

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