USP – Física 2 – 2019 – P3 – Exercício 5
Uma onda que se propaga ao longo de uma corda ideal apresenta a velocidade de fase ( ) igual à velocidade de grupo (). Porém, quando se considera uma corda real, a dependência da frequência angular com o número de onda pode ser descrita pela relação de dispersão:
onde é uma constante positiva que depende das propriedades mecânicas da corda e é a tensão aplicada na corda de densidade linear de massa . Se a razão entre a velocidade de fase e a velocidade de grupo é para uma onda com número de onda , para uma corda de densidade sujeita a uma tensão , o valor da constante , no sistema SI, é:
a) .
b) .
c) .
d).
e) .
f) .
g) nenhuma das respostas indicadas.
Passo 1
Pessoal, essa é uma questão um pouco diferente pois envolve o conceito de velocidade de fase e velocidade de grupo.
A velocidade de fase é a tradicional
Em muitos casos, a velocidade de grupo é igual a velocidade de fase e isso ocorre quando a relação de dispresão é do tipo
Isto é, quando depende linearmente de . No caso geral, a velocidade de grupo é dada por
No caso , note que
Portanto, nessa situação as velocidades são de fato iguais. Acontece que nesse problema aqui a relação de dispersão não é desse tipo:
Passo 2
Antes de derivar com relação a , vamos reescrever como
Derivando com relação a :
Ou ainda,
Portanto,
Passo 3
Tomando a razão :
Assim,
Substituindo a expressão para :
Por uma questão de simplicidade, vamos chamar e . Assim,
Vamos isolar :
Assim,
Passo 4
Vamos calcular numericamente :
Assim,
Portanto,
Fazendo as contas:
Desta forma, caímos na alternativa A 😉
Resposta
Alternativa A.