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Exercícios Resolvidos de Achar a Integral pela Soma de Riemann

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Integrais, Questão 2.3

Calcule

∫ 0 1 x 2 d x

usando integrais de Riemann (escolha uma partição, pontos c i e calcule lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f c i Δ x i )

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... para chegarmos ao valor aproximado da integral, podemos encontrar uma faixa de valores para uma maior exatidão do resultado.

Em outras palavras, faremos a soma de Riemann pela esquerda e outra para a direita, para encontrarmos essa faixa de valores.

Muito abstrato né? Então vamos devagarinho aqui que você vai entender 😉

Passo 2

Fazendo primeiramente a soma de Riemann pela esquerda, temos:

S e s q u e r d a = f x 0 * Δ x + f x 1 * Δ x + … + f x n - 1 * Δ x ∴

S e s q u e r d a = Δ x * ∑ i = 0 n - 1 f x i

Onde f x = x 2 e x i = a + i * Δ x .

Assm, escolhendo n = 8 , temos para os x i :

Δ x = 1 - 0 8 = 1 8

Logo:

x 0 = 0 + 0 * 1 8 = 0

x 1 = 0 + 1 * 1 8 = 1 8

x 2 = 0 + 2 * 1 8 = 1 4

x 3 = 0 + 3 * 1 8 = 3 8

x 4 = 0 + 4 * 1 8 = 1 2

x 5 = 0 + 5 * 1 8 = 5 8

x 6 = 0 + 6 * 1 8 = 3 4

x 7 = 0 + 7 * 1 8 = 7 8

Dessa forma, temos:

S e s q u e r d a = 1 8 * ∑ x = 0 7 x * 1 8 2 ∴

S e s q u e r d a = 35 128

Passo 3

Agora, fazendo a soma de Riemann pela direita, temos:

S d i r e i t a = f x 0 * Δ x + f x 1 * Δ x + … + f x n - 1 * Δ x ∴

S d i r e i t a = Δ x * ∑ i = 1 n f x i

Onde f x = x 2 e x i = a + i * Δ x .

Assm, escolhendo n = 8 , temos para os x i :

Δ x = 1 - 0 8 = 1 8

Logo:

x 1 = 0 + 1 * 1 8 = 1 8

x 2 = 0 + 2 * 1 8 = 1 4

x 3 = 0 + 3 * 1 8 = 3 8

x 4 = 0 + 4 * 1 8 = 1 2

x 5 = 0 + 5 * 1 8 = 5 8

x 6 = 0 + 6 * 1 8 = 3 4

x 7 = 0 + 7 * 1 8 = 7 8

x 8 = 0 + 8 * 1 8 = 1

Dessa forma, temos:

S d i r e i t a = 1 8 * ∑ x = 1 8 x * 1 8 2 ∴

S d i r e i t a = 51 128

Passo 4

Dessa forma, com esses valores, temos o seguinte intervalo para uma precisão de n > 8 :

35 128 < ∫ 0 1 x 2 d x < 51 128

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

35 128 < ∫ 0 1 x 2 d x < 51 128

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